Конспект урока по Геометрии «Египетский треугольник» 8 класс
СОШ№23
Интегрированный урок по теме:
«Египетский треугольник». 8-й класс
с
а
в
Учитель:Курскиева Луиза Макшариповна
Цели:
формирование умений применять теорему Пифагора в стандартных и нестандартных ситуациях,
развитие у учащихся умений математического моделирования, и анализирования практических задач,
закрепление навыков вычислительных действий с числами,
составление и использование алгоритма решения задач,
развитие интереса и уважения к изучаемому предмету.
Оборудование урока: портрет Пифагора, веревка с 12 узлами, компьютер.
ХОД УРОКА
I. Организационный момент, где учитель сообщает тему урока и его цели.
II. Проверка домашнего задания
А) Один ученик доказывает теорему Пифагора у доски.
Б) Ответы на вопросы:
1. Сформулируйте теорему Пифагора.
2. Какой треугольник называется прямоугольным?
3. Как называются стороны прямоугольного треугольника?
4. Заслушивание доклада учащегося “Теорема Пифагора”
5. Заслушивание доказательства теоремы Пифагора.
В) Решение задач по готовым чертежам.
Г) Составление алгоритма решения задачи.
1. Нахождение прямоугольного треугольника.
2. Запись теоремы Пифагора к конкретной задаче.
3. Составление и решение уравнения.
4. Вывод.
5. Запись ответа.
Д) Вывешивается таблица алгоритма.
1. Найти с.
2. с2 = а2 + в2
3. с2 = 82 + 62
4. Вывод.
5. Ответ.
III. Изучение нового материала.
А) Историческая справка.
Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали бечевку, разделенную узлами на 12 равных частей, покажите, как они это делали. (К доске вызываются 3 желающих продемонстрировать построение прямоугольного треугольника). Напоминаю, что в углах должны быть узлы. Ребята, выполнив с помощью веревки построение, очень довольны, что побывали в роли древних египтян. Рассказывают, что и сейчас при закладывании фундаментов новых домов очень часто строители используют именно этот способ построения прямых углов будущих домов.
Б) Постройте на компьютере треугольник АВС
Дано: а=4 см; в=3 см; С=90°
Найти: с
Решение: с2=а2+в2
с2=42+32
с2=16+9
с2=25
с1=5; с2=-5 постороннее решение, длина гипотенузы – положительное число.
Ответ: 5 см.
В) Ответ проверьте измерениями.
Г) Как вы думаете, какое название носит этот прямоугольный треугольник?
Ответ: Египетский треугольник.
Правильно, Египетский треугольник, так и тема нашего урока. Ребята, запишите в тетрадях тему урока «Египетский треугольник».
IV. Развитие умений и навыков.
А) Найдите сторону ромба, если его диагонали 8 см и 6см.
На экране с помощью проектора дается чертеж.
Дано: АВСД – ромб
АС=6 см; ВД=8 см
Найти: АВ.
Решение: устно составим алгоритм решения задачи.
1. АВО – прямоугольник LО=90°
2. АВ2=АО2+ВО2(АО = )
3. АВ2=42+32
АВ2=25
АВ=5.
А как было проще решить, не выполняя вычислений, кто догадается?
Ответ: я вижу, что в прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4, значит он Египетский, а поэтому гипотенуза равна 5, т.е. АВ=5.
Учитель: Вот ребята, оказывается не всегда нужно выполнять вычисления, а можно, зная определение Египетского треугольника, сразу дать ответ.
V. Работа в группах на 5–6 минут (класс разбит на несколько групп по 4 человека) каждая группа получает задание – карточку.
1 задание
Стороны ромба равны по 13 см, а большая диагональ его равна 24 см. Вычислите другую диагональ.
2 задание
В равнобокой трапеции основания равны 10 см и 40 см. Боковая сторона равна 25 см. Вычислите высоту трапеции.
3 задание
В равнобедренной трапеции основания равны 7 см и 25 см, высота равна 12 см. Вычислите диагональ АС и периметр трапеции.
4 задание
В прямоугольной трапеции основания равны 11 см и 20 см. Большая боковая сторона ее равна 41 см. Найдите периметр трапеции.
5 задание
В прямоугольной трапеции АВ АД и АВ=ВС, диагональ АССД и АС=СД. Найдите АД если АВ=5см.
решение.
АО=
АС=10
Ответ: 10.
VI. Задание на дом п.64, №17,18.
VII. Подведение итога урока, выставление оценок.
А) Возможно ли было решить задачи данного типа без знания теоремы Пифагора?
Б) О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?
В) Вспомните алгоритм решения задач данного типа.
Г) Достигли ли мы цели урока?
Д) Что вам понравилось на этом уроке?
Учитель благодарит всех за работу на уроке.
Презентация к уроку геометрии «Теорема Пифагора. Египетский треугольник»
Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии «Теорема Пифагора. Египетский треугольник»»
Теорема Пифагора. Египетский треугольник (2 урок) 8 класс
МКОУ СОШ №8 с.Ульяновка Минераловодского района Голованева Е.В.
УМК А.В.Погорелов
Теорема Пифагора. Египетский треугольник.
- Теорему в древности называли «мостом ослов», так как слабые ученики, заучивающие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому «ослами», были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.
Или «бегством убогих» , так как некоторые «убогие» ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии.
Как звучала теорема во времена Пифагора?
«Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах».
A
S = c 2
S = в 2
с
в
a
C
B
S = a 2
Следствия из теоремы Пифагора
- В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы.
- Для любого острого угла α cos α 1
Египетский треугольник
- Кто раньше Пифагора знал свойства прямоугольного треугольника?
- Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. Это же самое проделывалось тысячи лет назад при строительстве великолепных храмов в Египте, Вавилоне, Китае, в Мексике.
Историческая справка
- Землемеры Древнего Египта для построения прямого угла использовали бечёвку, разделённую узлами на 12 равных частей.
- И сейчас при закладывании фундаментов новых домов очень часто строители использовали именно этот способ построения прямых углов будущих домов.
А правы ли египтяне?
Дано
а = 3 см b c
b = 4 см
c = 5 см — ? а
- Решение
- a 2 + b 2 = c 2
- 3 2 + 4 2 = с 2
- с 2 = 9 + 16
- с 2 = 25
- с =
- с = 5
Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 8 см и 6 см.
А О С
Решение:
- Вспомним свойства ромба.
- Находим прямоугольный треугольник
- АО 2 +ВО 2 = АВ 2
- 3 2 + 4 2 = АВ 2
- АВ =
- АВ = 5
Алгоритм решения задач
- Нахождение прямоугольного треугольника
- Запись теоремы Пифагора к конкретной задаче
- Составление и решение уравнения
- Вывод
- Запись ответа
Самостоятельная работа
- Задача 1.
- Стороны ромба = 13 см, а большая диагональ = 24 см. Чему равна другая диагональ?
- В
- А o С
- D
- 12 2 + X 2 =13 2
- X 2 = 13 2 — 12 2
- X 2 = 169 -144
- X 2 = 25
- X = 5 ( см) – половина диагонали
- 2) 5 * 2 = 10 (см) – вторая диагональ
Самостоятельная работа
- Задача 2
- В равнобокой трапеции основания равны 10 и 40 см. Боковая сторона = 25 см. Вычислить высоту трапеции
- В 10 С
25
А R 40 D
Итог.
- 1 . Возможно было решение задач данного типа без знания теоремы Пифагора? Почему?
- 2. В чем суть теоремы Пифагора?
- 3. О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 теперь мы называем египетским.
- Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдём: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим И таким простым путём К результату мы придём.
Домашнее задание
- П. 64
- З. № 10
- № 6 (2)
Спасибо за урок!
Зачем строителю нужен египетский треугольник? | Математика не для всех
Самое интересное, что такое название фигуре дали не Египтяне, а эллины, прибывшие в 5-7 веках до нашей эры в Египет. Чем же так замечателен египетский треугольник?
Источник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/12d3/0003cfda-6088e3e6/hello_html_m2bc7a7c9.pngИсточник: https://ds02.infourok.ru/uploads/ex/12d3/0003cfda-6088e3e6/hello_html_m2bc7a7c9.png
Три главных его свойства:
1. Всего его стороны целочисленны и рациональны: к тому же 3,4,5 минимальные из вещественных чисел.
2. Египетский треугольник — родоначальник так называемых героновских треугольников (знакомая фамилия? Помните формулу из школьного курса геометрии?), а точнее самый простой из них.
3. Радиус вписанной в треугольник окружности равен единице.
А теперь, дорогой читатель, давай умножим все стороны простейшего египетского треугольника на любое вещественное число, для простоты на 3. Тогда получим а=3*3=9, b=4*3=12 и c=5*3=15. Треугольник с такими сторонами — тоже прямоугольный
И что? Возразит читатель! Это же простая математика про извлечение корней! Что здесь такого? И будет прав. Если он живет в 21 веке. Но будет очень неправ, если он родился в Древнем Египте. Так как среди наших читателей таковых вроде как нет, попытаюсь объяснить.
Представьте, что вы древнеегипетский землемер и вам нужно разметить квадратный фундамент, например, для пирамиды, имеющий вид квадрата со стороной 100 метров. Как решить эту проблему? Да легко! Берем веревку длиной 100 метров, привязываем его к колышку и идем в одну сторону, делаем отметку. Возвращаемся и идем под углом 90 градусов в другую сторону на 100 метров. И получаем нечто такое:
Источник: http://900igr.net/up/datai/86316/0017-030-.pngИсточник: http://900igr.net/up/datai/86316/0017-030-.png
Явно не похожее на квадрат в основании, скорее на ромб. Так где же зарыта собака? Ответ: в определении угла в 90 градусов. Попробуйте на досуге даже обычной линейкой разметить квадрат два на два метр и получите расхождение. что уж говорить, когда стороны в 50 раз больше?
Что же делать землемеру? На помощь приходит математика.
Берем веревку длиной 25 метров. На другой длинной веревке откладываем 12 этих веревок и получаем 300-метровый отрезок с нанесенными отметками каждые 25 метров. Теперь все абсолютно просто: надо из это веревки построить треугольник, с длинами в 3,4 и 5 отрезков соответственно. Магия такова, что в таком случае у Вас всегда получится прямой угол! А все остальное — дело техники. В завершении видео:
Источник: https://www.youtube.com/channel/UCZ-nUXfiI6qquikAaUNv36g
Спасибо за любовь к математике! Жду Вас снова!
Малоизвестное обобщение теоремы Пифагора / Хабр
Теорема Пифагора — пожалуй, самая известная из математических теорем. Сколько существует оригинальных доказательств! Сколько применений она находит в технике! Сколькими благами цивилизации мы обязаны этой великой теореме! Однако, совсем недавно, я открыл для себя совершенно новую, ранее неизвестную грань этой теоремы, которая значительно расширяет область ее применения. Именно этим открытием я и хочу поделиться с вами, уважаемые читатели Geektimes. Пожалуйста, не судите строго, если описанные с статье факты, вам известны. Это скроее развлекательная история с научно-популярным элементом, чем строгая математика.
Геометрическое доказательство теоремы Пифагора
Вокруг да около
История теоремы Пифагора уходит в века и тысячелетия. В этой статье, мы не будем подробно останавливаться на исторических темах. Для интриги, скажем только, что, по-видимому, эту теорему знали еще древне-египетские жрецы, жившие более 2000 лет до нашей эры. Для тех, кому любопытно, вот ссылка на статью в
Википедии.
Прежде всего, хочется для полноты изложения привести здесь доказательство теоремы Пифагора, которое, по моему мнению, наиболее элегантно и очевидно. На рисунке выше изображено два одинаковых квадрата: левый и правый. Из рисунка видно, что слева и справа площади закрашенных фигур равны, так как в каждом из больших квадратов закрашено по 4 одинаковых прямоугольных треугольника. А это означает, что и незакрашенные (белые) площади слева и справа тоже равны. Замечаем, что в первом случае площадь незакрашенной фигуры равна , а во втором — площадь незакрашенной области равна . Таким образом, . Теорема доказана!
Зарождение идеи
В этой статье я хочу не только рассказать что-то новое и познавательное о теореме Пифагора, но и поделиться своей историей о том, как в моей голове зародилась интересная идея, которую я сумел сформулировать, доказать и даже предположил возможность обобщения на более высокую размерность. Но обо всем по порядку.
Египетские треугольники
С давних времен науке известны так называемые египетские треугольники. Это такие прямоугольные треугольники, у которых катеты и гипотенуза выражаются целыми числами. Можно сказать и иначе: египетские треугольники — это такие тройки натуральных чисел
, которые образуют прямоугольный треугольник. Мы все, наверняка, хоть раз встречались с ними в школе на уроках геометрии. Для примера привожу несколько таких троек:
Во-первых, это красивые математические объекты. А во-вторых, с ними очень удобно решать задачи! Нет никаких квадратных корней и иррациональных чисел в ответе.
Загадочные четверки
И вот, году этак в 2004 — 2005, в пору подготовки к ЕГЭ, когда я сутками напролет решал просто какую-то бесконечную прорву хитро-вычурных задач из части С, мне то и дело стали попадаться не тройки, а уже четверки чисел, которые обладали похожими свойствами: а именно, сумма квадратов трех из них давала полный квадрат четвертого. Этот факт заинтриговал меня настолько, что я до сих пор наизусть помню некоторые из них. На самом деле, таких четверок бесконечно много и только в пределах чисел до 1000 их существует около 84 000. А вот, к примеру, пять таких четверок, из тех, что компьютер нашел перебором, пока я писал эту статью:
Заметив такое удивительное совпадение, я стал думать. Вопрос, который меня занимал в связи с этим загадочным обстоятельством, наличием не только троек, но и четверок, обнаруживающих свойства египетского треугольника, был таков: «
А что бы это все могло значить?» Я перебирал варианты, какие только приходили в голову. В фантазии себя никак не ограничивал. Много раз садился за стол, выписывал известные мне наборы четверок и вдумчиво на них смотрел… часами… без перерыва… и… ничего не происходило. У меня был школьный товарищ Саня, с которым я как-то поделился своими идеями. Но его больше интересовали гуманитарные науки. Он стал юристом и сейчас служит в звании майора милиции. Саня сказал мне примерно следующее:«Вот странный ты человек. Делать тебе больше нечего. Мало тебе задают домашек? Хватит думать о всякой ерунде!». А, надо сказать, думал я, не переставая, и думал много лет, время от времени возвращаясь к этой загадке. Еще будучи школьником, я сделал вывод, что это, вероятнее всего, имеет отношение к великой теореме Ферма (на которую я тоже много раз подолгу смотрел). Шли годы. Ничего не получалось. Озарение не приходило. И я понял, что, вероятно, дальше чем «что-то связанное с теоремой Ферма» я никуда уже не продвинусь. Но не тут то было
Шерлок нашел зацепку
Итак, в 2014 году ехал я в автобусе по Новосибирску. А может быть это было метро. Дорога не близкая. Заняться нечем. И в очередной раз решил я подумать о моей школьной загадке. И вот что я подумал.
Как же назвать эти числа? Треугольниками не назовешь, ведь четыре числа никак не могут образовать треугольник. И тут! Как гром среди ясного неба
Раз есть такие четверки чисел, значит должен быть геометрический объект с такими же свойствами, отраженными в этих числах!
Теперь осталось только подобрать какой-то геометрический объект под это свойство, и все встанет на свои места! Конечно, предположение было чисто гипотетическое, и никакого подтверждения под собой не имело. Но что если это так!
Начался перебор объектов. Звезды, многоугольники, правильные, неправильные, с прямым углом и так далее и тому подобное. Опять ничего не подходит. Что делать? И в этот момент Шерлок получает свою вторую зацепку.
Надо повысить размерность! Раз тройке соответствуют треугольник на плоскости, значит четверке соответствует нечто трехмерное!
О нет! Опять перебор вариантов! А в трехмерии гораздо, гораздо больше всевозможных геометрических тел. Попробуй перебрать их все! Но не все так плохо. Есть же еще прямой угол и другие зацепки! Что мы имеем? Египетские четверки чисел (пусть будут египетские, надо же их как-то называть), прямой угол (или углы) и некий трехмерный объект. Дедукция сработала! И… Полагаю, что догадливые читатели уже поняли, что речь идет о пирамидах, у которых при одной из вершин все три угла — прямые. Можно даже назвать их прямоугольными пирамидами по аналогии с прямоугольным треугольником.
Новая теорема
Итак, у нас есть все что нужно. Прямоугольные (!) пирамиды, боковые
грани-катетыи секущая
грань-гипотенуза. Пришло время нарисовать еще одну картинку.
Теорема Пифагора для прямоугольной пирамиды
На картинке изображена пирамида с вершиной в начале прямоугольных координат (пирамида как бы лежит на боку). Пирамида образована тремя взаимно-перпендикулярными векторами, отложенными из начала координат вдоль координатных осей. То есть каждая боковая грань пирамиды — это прямоугольный треугольник с прямым углом при начале координат. Концы векторов определяют секущую плоскость и образуют грань-основание пирамиды.
Теорема
Пусть есть прямоугольная пирамида, образованная тремя взаимно-перпендикулярными векторами , у которой площади граней-катетов равны — , и площадь грани-гипотенузы — . ТогдаАльтернативная формулировка: У четырехгранной пирамиды, у которой при одной из вершин все плоские углы прямые, сумма квадратов площадей боковых граней равна квадрату площади основания.
Разумеется, если обычная теорема Пифагора формулируется для длин сторон треугольников, то наша теорема формулируется для площадей сторон пирамиды. Доказать эту теорему в трех измерениях очень просто, если вы немного знаете векторную алгебру.
Доказательство
Выразим площади через длины векторов .
где .Площадь представим как половину площади параллелограмма, построенного на векторах и
Как известно, векторное произведение двух векторов — это вектор, длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.
Поэтому
Таким образом,
Что и требовалось доказать!
ЭВРИКА!
Моему восторгу не было границ! Я буквально прыгал от счастья. Конечно, это не бог весть какая сложная теорема, и доказательство очень простое, но ведь сам. И до меня — никто! Я был в этом искренне убежден в течение около года. Попытки найти хоть какие-то свидетельства о том, что это уже известно и доказано терпели неудачу одна за другой, и я думал, что совершил открытие. Это непредаваемое чувство! Я хотел поделиться этой теоремой со всем миром. Говорил о ней друзьям, знакомым математикам, просто знакомым с техническим/математическим образованием и без. Никто не разделял моего восторга и энтузиазма. Всем было попросту безразлично. Будто бы я не придумал и доказал теорему, а просто в магазин за хлебом сходил. Ну и что тут такого? Вот уж действительно… Как говорится, «Как скучно мы живём! В нас пропал дух авантюризма, мы перестали лазить в окна к любимым женщинам, мы перестали делать большие хорошие глупости.» (из фильма «Ирония судьбы»).
Конечно, как у человека, профессионально занимающегося исследованиями, подобное в моей жизни уже случалось, и не раз. Но этот момент был самым ярким и самым запоминающимся. Я испытал полную гамму чувств, эмоций, переживаний первооткрывателя. От зарождения мысли, кристализации идеи, нахождения доказательства — до полного непонимания и даже неприятия, которое встретили мои идеи у моих друзей, знакомых и, как мне тогда казалось, у целого мира. Это было уникально! Я словно почувствовал себя в шкуре Галлилея, Коперника, Ньютона, Шредингера, Бора, Эйнштейна и многих многих других открывателей.
Послесловие
В жизни, все оказалось гораздо проще и прозаичнее. Я опоздал… Но на сколько! Всего-то навсего 18 лет! Под страшными продолжительными пытками и не с первого раза Гугл признался мне, что эта теорема была опубликована в 1996 году!
Вот ссылка на статью:
Amir-Moéz, Ali R., Robert E. Byerly, and Robert R. Byerly. «Pythagorean theorem in unitary spaces.» Publikacije Elektrotehničkog fakulteta. Serija Matematika (1996): 85-89.
Статья опубликована издательством Техасского технического университета. Авторы, профессиональные математики, ввели терминологию (которая, кстати, во многом совпала с моей) и доказали также и обобщенную теорему справедливую для пространства любой размерности большей единицы. Что же произойдет в размерностях более высоких, чем 3? Все очень просто: вместо граней и площадей будут гиперповерхности и многомерные объемы. А утверждение, конечно, останется все тем же: сумма квадратов объемов боковых граней равна квадрату объема основания, — просто количество граней будет больше, а объем каждой из них станет равен половине произведения векторов-образующих. Вообразить это почти невозможно! Можно только, как говорят философы, помыслить!
Что удивительно, узнав о том, что такая теорема уже известна, я ничуть не расстроился. Где-то в глубине души я подозревал, что вполне возможно, я был не первый, и понимал, что нужно быть всегда к этому готовым. Но тот эмоциониальный опыт, который я получил, зажег во мне искру исследователя, которая, я уверен, теперь уже не угаснет никогда!
P.S.
Эрудированный читатель в комментариях прислал ссылку
Теорема де Гуа
Выдержка из Википедии
В 1783 году теорема была представлена Парижской академии наук французским математиком Ж.-П. де Гуа, однако ранее она была известна Рене Декарту[3] и до него Иоганну Фульгаберу (англ.), который, вероятно, первым открыл её в 1622 году[4]. В более общем виде теорему сформулировал Шарль Тинсо (фр.) в докладе Парижской академии наук в 1774 году[4]
Так что я опоздал не на 18 лет, а как минимум на пару веков!
Источники
Читатели указали в комментариях несколько полезных ссылок. Вот эти и некоторые другие ссылки:
- Теорема де Гуа
- Теорема Пифагора
- Пифагорова тройка
- Пифагорова четверка
- Равенство Парсеваля
Ключевые слова: сакральная геометрия, египетский треугольник, прямой угол, землеразделение.
Обучающая программа по геометрии
Обучающая программа по геометрии По теме Углы Железниченко Е.И. Цель работы Этот презентация разработана по материалу первых тем геометрии, изученных в 7 классе. Он позволит ребятам самостоятельно изучить
ПодробнееИсторическая справка. Пифагор
Историческая справка Пифагор (около 569г.- около 475г. до н.э.) Основал пифагорейскую школу, в которой рассматривались четыре науки: арифметика, музыка(гармония), геометрия и астрономия с астрологией.
ПодробнееГеометрия 7 класс. Содержание курса.
Геометрия 7 класс. Содержание курса. Геометрические фигуры Фигуры в геометрии и в окружающем мире Геометрическая фигура. Формирование представлений о метапредметном понятии «фигура». Точка, линия, отрезок,
ПодробнееПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.
Программа элективного курса «Решение геометрических задач» предназначена для обучения в 0-х классах и рассчитана на 34 часа. Материал распределен следующим образом: решение планиметрических задач и стереометрических
ПодробнееСАКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АРХИТЕКТУРА
УДК 725.182(575.2) САКРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И АРХИТЕКТУРА А.ДЖ.КОЖАЛИЕВ E.mail. [email protected] Макалада дүйнөдөгү сакралдык геометриянын жана сакралдык архитектуранын өнүгүүсү жөнүндө ар түрдүү маданияттардагы
ПодробнееИстория. 5 класс. Рабочая программа. Москва
Основное общее образование История 5 класс Рабочая программа Москва Планируемые результаты освоения учебного предмета Метапредметные результаты способность сознательно организовывать свою деятельность
ПодробнееПРОГРАММА ПО МАТЕМАТИКЕ
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Уральский федеральный университет имени первого
ПодробнееУрок геометрии в 8 классе
Урок геометрии в 8 классе Тема: «Итоговое повторение курса геометрии 8 класса» Продолжительность урока: 90 минут Цели урока: обучающие: обобщение знаний по курсу геометрии 8 класса; развивающие: развитие
ПодробнееКак найти фигурные числа?
1 Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение школа-интернат 1 имени К. К. Грота Красногвардейского района Санкт-Петербурга Исследовательская работа Как найти фигурные числа? Математика Владимирова
ПодробнееДревнекитайский символ
Древнекитайский символ Сравните Некоторые современные здания Золотое сечение «Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник
ПодробнееУДК Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ
УДК 511.11 Елизаров Е.Б. Россия, г. Владикавказ 1 Аннотация: Статья посвящена вечной теореме П.Ферма с простой постановкой задачи, но сложным решением, как это обычно бывает в теории чисел. Мне удалось
ПодробнееПРЕДИСЛОВИЕ. Дорогие друзья!
ПРЕДИСЛОВИЕ Из всех народов первым будет всегда тот, кто опередит другие в области мысли и умственной деятельности. Луи Пастер Дорогие друзья! Вы продолжаете изучение уже, хочется думать, полюбившейся
ПодробнееМатематика. Семь веков до нашей эры
Математика Семь веков до нашей эры VII VI века до нашей эры Зарождение дедуктивной геометрии. Формулирование и попытки осуществления доказательств первых теорем. Фалес Милетский Пифагор Самосский Пифагор
ПодробнееФОРУМ МОЛОДЫХ УЧЕНЫХ 3(3)
УДК 001.1 Селеменева Е.А. Студент магистратуры 2 курс магистратуры, факультет «Экономика, сервис и предпринимательство» Институт сферы обслуживания и предпринимательства (филиал)дгту в г. Шахты Россия,
ПодробнееПредисловие Геодезия
1 Предисловие Геодезия, оставаясь прежней, стала в XXI веке другой. С приходом новой эпохи она приобрела новое выражение, новый вид, новое «лицо» и состояние. Этой новой геодезии, чтобы вписаться в новую
ПодробнееПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ПЛАНИРУЕМЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В результате изучения курса геометрии 8 класса учащиеся должны знать: основные понятия и определения геометрических фигур по программе; формулировки основных теорем и их следствий;
ПодробнееПРОПОРЦИИ В ЕГИПЕТСКОЙ АРХИТЕКТУРЕ
ПРОПОРЦИИ В ЕГИПЕТСКОЙ АРХИТЕКТУРЕ В построении пропорций возможны два основных метода.. Арифметические системы, где пропорции вычисляются абстрактным методом (по числам). Разновидностью этого способа
ПодробнееЗолотое сечение в античной математике
Золотое сечение в античной математике А. И. ЩЕТНИКОВ 1. Постановка проблемы. Не будет преувеличением сказать, что без обсуждения вопроса о золотом сечении не обходится ни одна публикация, посвящённая взаимоотношениям
ПодробнееРабочая программа учебного предмета
Приложение 7 к основной образовательной программе МБОУ СШ 2, утвержденной приказом директора от 27.06.2013 275П (в редакции приказа от 04.03.2016 69П) Рабочая программа учебного предмета «ГЕОМЕТРИЯ» ФКГОС:
ПодробнееО ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ. Азарова А.Э., АР-32 г, архитектурный факультет, ДонНАСА; руководитель: Азарова Н.В., ассистент кафедры «Высшая математика», ДонНТУ
Азарова А.Э., АР-32 г, архитектурный факультет, ДонНАСА; руководитель: Азарова Н.В., ассистент кафедры «Высшая математика», ДонНТУ О ЗОЛОТОМ СЕЧЕНИИ I. Вступление. Человек различает окружающие его предметы
Подробнее1.Основные понятия геометрии. (2ч)
.Основные понятия геометрии. (2ч) СОДЕРЖАНИЕ КУРСА Начальные понятия планиметрии. Геометрические фигуры. 2.Измерение отрезков и углов. (3ч) Отрезок, длина отрезка и ее свойства. Угол, величина угла и ее
Подробнееплощади многоугольников
МБОУ СОШ 5 «Школа здоровья и развития» г. Радужный Решение заданий В5 площади многоугольников по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 04 года Автор: учитель математики Е.Ю. Семёнова Теорема
ПодробнееРАБОЧАЯ ПРОГРАММА по геометрии в 8 классе
МБОУ «Мещеринская средняя общеобразовательная школа» Ступинского муниципального района УТВЕРЖДАЮ Директор школы Е.О.Головина 0 г. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА по геометрии в классе на 0-0 учебный год ( часа в неделю,
ПодробнееПояснительная записка
Пояснительная записка У многих учащихся сформировалось мнение, что геометрия это «сухой» предмет, который развивает только логику, ум, а искусство воздействует лишь на эмоциональную сферу человека, в которой
ПодробнееS = {1, 1, 1, } (1) N = (N раз). (2)
7.5. Новое геометрическое определение числа Что такое число? «Ливийский» период моей жизни, который продолжался с февраля 1995 по август 1997 г., был своеобразным и сознательным «заточением», кода я у
Подробнее3 года срок реализации программы
Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа 27» г.сыктывкара «27 -а шöр школа» Сыктывкарса муниципальнöй велöдан учреждение Рассмотрено методическим объединением учителей
ПодробнееI. Пояснительная записка
I. Пояснительная записка Количество часов в неделю: 2 ч Количество часов в год: 68 ч Уровень программы: базовый Тип программы: типовая Учебник: Геометрия, 7-9: учеб, для общеобразовательных организаций
ПодробнееУрок геометрии в 8 классе по теме: »Теорема Пифагора»
Урок геометрии в 8 классе
Тема: Теорема Пифагора
Цели и задачи урока:
Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о теореме Пифагора; сформулировать понятие египетского треугольника; выработать умение применять теоретический материал для решения задач и доказательства теорем.
Воспитательное: воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики, показывая красоту математических доказательств, их стройность, логичность.
Развивающие: развивать умение обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его; развивать мышление, память, навыки аргументированной речи; навыки доказательного воспроизведения в процессе деятельности.
Тип урока: формирование умений и навыков.
Ход урока
Организация урока
У ч и т е л ь. Добрый день! Всем желаю хорошего настроения, творческой работы, взаимопонимания, замечательного общения. Не известно кто, когда, но кто-то сказал ”Пытайтесь для каждого дела найти позитивное начало, поскольку от вашего настроения, с каким вы вступаете в день или дело, зависят Ваши успехи, а может и неудачи ”
Я желаю вам начать урок с хорошим настроением и получить удовольствие и хорошие результаты.
Мотивация. Сообщение темы, цели, задач урока.
У ч и т е л ь. На предыдущем уроке мы с вами рассмотрели одну из самых замечательных теорем — теорему Пифагора.
Устный блиц-опрос
Как называют стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу?
Может ли у прямоугольного треугольника быть два прямых угла?
Как называется самая большая сторона прямоугольного треугольника?
Может ли один из углов прямоугольного треугольника быть тупым?
Сформулируйте теорему Пифагора.
Как найти катет прямоугольного треугольника, если известен другой катет и гипотенуза?
Может ли длина одного из катетов быть больше гипотенузы?
Как найти гипотенузу, если известны два катета?
Решение задач на применение Теоремы Пифагора.
У ч и т е л ь. В 1974 году на созвездие геркулес с Земли был отправлен сильный сигнал, который содержал в себе 1679 самых важных сообщений и открытий. Среди них была зашифрована и теорема Пифагора. Но, узнать о том , смогли ли другие существа понять эту теорему, сможем только через 5 тысяч лет. Именно, через это время сигнал вернется на Землю. А вот, смогли ли вы понять теорему Пифагора, мы выясним с вами прямо сейчас.
( Каждый ученик решает задачу на применение теоремы Пифагора)
a = 6см в = 8 см с = ?
a = 18см с = 30 см в = ?
a = 9см с = 12 см с = ?
a = 36см с = 45 см в = ?
в = 20см с = 25 см а = ?
с = 55см в = 44 см а = ?
a = 24см в = 18 см с = ?
a = 12см в = 16 см с = ?
в = 30см с = 50 см а = ?
в = 24см с = 40 см ф = ?
a = 27см с = 45 см в = ?
a = 12см с = 15 см в = ?
a = 32см в = 24 см с = ?
a = 15см в = 20 см с = ?
в = 12см с = 20 см а = ?
в = 28см с = 35 см а = ?
У ч и т е л ь. В древние века в архитектуре и строительстве пользовался огромной популярностью ”чудо” треугольник. Предприимчивые египтяне изобрели интересный способ построения прямого угла. Для этих целей они брали веревку, на которой отмечали узелками двенадцать ровных частей, потом с этой веревки складывали треугольник со сторонами, которые равнялись 3,4 и 5 частям и в итоге без проблем получали прямоугольный треугольник.
Итак, треугольник со сторонами 3х, 4х, 5х является египетским. Проверьте это соотношение для ваших треугольников (учащиеся проверяют и убеждаются, что их треугольники египетские)
”Мозговой штурм”- устное объяснение решений, используя египетский треугольник.
Проверка доказательства теоремы Пифагора. (Учитель переодевается и играет роль Пифагора)
У ч и т е л ь. О боги, мой ум прошу Вас озарить
Чтоб истину,что всех дороже мне открыть.
Я, в жертву сто быков готов отдать,
Чтоб эту теорему доказать.
Я не один?
Сюда народ пришел, тогда друзья мне помогайте.
Чтоб истину, что всех дороже я нашел.
А, если ошибусь, пожалуйста исправьте.
Всем треугольники равные прямоугольные я дам
(раздает по 4 равных прямоугольных треугольников)
Себе и Вам вопрос задам,
Возможно ли так расположить,
Чтобы квадрат в итоге получить?
(ребята складывают квадрат и каждый находит площади получившихся частей и доказывает теорему Пифагора)
Устно чертеж на доске рассмотри
И площадь фигуры каждой найди.
(подводят итог, на доске ученик доказывает теорему)
У ч и т е л ь. Все доказал!
Хвала богам, что обещал отдать придется.
Вот сто быков, все в жертву Вам.
Пусть теорема именем моим зовется.
(учитель раздает ребятам пряники сделанные в виде ”штанов Пифагора”
У ч и т е л ь. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он ”запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имею душу, как и мы” в связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: ”…когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста”.
Закрепление полученных знаний.
Катет прямоугольного треугольника 6 см, а медиана, проведенная к нему 5 см. найдите гипотенузу.
Найдите диагональ равнобокой трапеции с основаниями 50 см и 8 см, боковой стороной 35 см.
Подведение итогов.
У ч и т е л ь. По моему, вы были на уроке не только активными, сообразительными, но и впитывали знания с ”аппетитом” и получили от этого удовольствие. Пусть каждый сам оценит свою работу на уроке. ( у ребят на столах лежат по три разных карточки). Те, кто работал с удовольствием – на отлично, поднимаю красную карточку. Те, кто ответственно выполнял работу на хорошо, поднимают синюю карточку.И у кого не совсем все получалось- зеленую.
Я желаю вам всегда работать с удовольствием.
Домашнее задание
6
Опубликованные материалы на сайте СМИ «Солнечный свет». Статья Открытый урок по теме: «Теорема Пифагора».. Автор: Голодухина Светлана Александровна.
Автор: Голодухина Светлана Александровна
Заключительный урок по теме: «Теорема Пифагора».
Доказательство теоремы способом отличным от того, что рассматривали на уроке.
Знакомство с Египетским треугольником и использование этих знаний при решении прямоуголього треугольника.
Подбор интересных задач на применение теоремы Пифагора.
Урок геометрии в 8 классе
По многолетнему опыту работы учителя-практика могу сказать, что учителя различают три основных типа учеников:
визуальный ученик – это тот, кто достигает в учебе самых больших успехов, имея перед глазами графическую или текстовую опору;
аудиальный ученик – это тот, кто лучше всего учится, слушая, так как прекрасно;
кинестетический ученик – это тот, кто должен непременно что-то делать и лучше всего учится через действие, деятельность.
На своем уроке я дам возможность проявить себя каждому типу учащихся. Таким образом, каждый ученик сможет увидеть, услышать, прочитать, представить, самостоятельно доказать факты, «подержать математический материал в руках», установить связь, получить алгоритм действий, работать в рамках времени урока с собственным темпом, используя свои каналы восприятия информации.
Тема: Теорема Пифагора
Цели и задачи урока:
Образовательные: обобщить и систематизировать знания учащихся о теореме Пифагора; сформулировать понятие египетского треугольника; выработать умение применять теоретический материал для решения задач и доказательства теорем.
Воспитательные: воспитывать познавательную активность, повышать интерес к изучению математики, показывая красоту математических доказательств, их стройность, логичность.
Развивающие: развивать умение обнаруживать способ доказательства нового математического утверждения и выполнять его; развивать мышление, память, навыки аргументированной речи; навыки доказательного воспроизведения в процессе деятельности.
Оборудование: карточки с заданием для каждого ученика, четыре равных прямоугольных треугольника, клей, лист А-4, карточки трех цветов (красный, синий, зеленый), надпись «УРОК», чертежные принадлежности, веревка с узелками, поделенная на 12 равных частей.
Тип урока: формирование умений и навыков.
Ход урока
Организация урока
(для всех типов учеников)
Учитель: Добрый день! Всем желаю хорошего настроения, творческой работы, взаимопонимания, замечательного общения. Неизвестно кто, когда, но кто-то сказал «Пытайтесь для каждого дела найти позитивное начало, поскольку от вашего настроения, с каким вы вступаете в день или дело, зависят Ваши успехи, а может и неудачи».
Я желаю вам начать урок с хорошим настроением и получить удовольствие и хорошие результаты. А для настроения попробуем расшифровать слово «УРОК» (учащиеся называют расшифровку, а учитель подводит итог, обобщая все сказанное учащимися).
На доске крепится надпись (для кинестетиков можно предложить самим прикрепить таблички к слову «УРОК»).
– успех
– радость, работоспособность
– обучение, одаренность
– коллектив, компетентность
Учитель: Надеюсь, что сегодня на уроке вас ждет и успех, и радость. Вы сможете продемонстрировать при обучении собственную одаренность и компетентность. И все это мы сделаем нашим дружным коллективом.
Будьте внимательными на протяжении урока. Думайте, записывайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе.
Мотивация. Сообщение темы, цели, задач урока
Учитель: На предыдущем уроке мы с вами рассмотрели одну из самых замечательных теорем – теорему Пифагора, без которой в геометрии многие задачи просто невозможно решить. Попробуем сегодня, с помощью египетского треугольника, упростить теорему Пифагора. Выработаем навыки применения теоремы Пифагора для решения задач.
Устный блиц-опрос
(
для аудиальных учеников, которые
лучше воспринимают, когда сами говорят и слушают себя)
Как называют стороны прямоугольного треугольника, прилегающие к прямому углу?
Может ли у прямоугольного треугольника быть два прямых угла?
Как называется самая большая сторона прямоугольного треугольника?
Может ли один из углов прямоугольного треугольника быть тупым?
Сформулируйте теорему Пифагора.
Как найти катет прямоугольного треугольника, если известен другой катет и гипотенуза?
Может ли длина одного из катетов быть больше гипотенузы?
Как найти гипотенузу, если известны два катета?
Решение задач
на применение Теоремы Пифагора
(для всех типов учеников)
Учитель: В 1974 году на созвездие Геркулес с Земли был отправлен сильный сигнал, который содержал в себе 1679 самых важных сообщений и открытий. Среди них была зашифрована и теорема Пифагора. Но, узнать о том, смогли ли другие существа понять эту теорему, сможем только через 5 тысяч лет. Именно, через это время сигнал вернется на Землю. А вот, смогли ли вы понять теорему Пифагора, мы выясним с вами прямо сейчас (учитель раздает по карточке каждому учащемуся; можно продублировать карточки и раздать по два задания).
Каждый ученик решает задачу на применение теоремы Пифагора, где а, в – катеты, с – гипотенуза.
a = 6см
в =
8 см
с =
?
a = 18см с =
30 см
в =
?
a = 9см в
=
12 см
с =
?
a = 36см с =
45 см
в =
?
в = 20см с =
25 см
а =
?
с = 55см в =
44 см
а =
?
a = 24см в =
18 см
с =
?
a = 12см в =
16 см
с =
?
в = 30см с =
50 см
а =
?
в = 24см с =
40 см
а
=
?
a = 27см с =
45 см
в =
?
a = 12см с =
15 см
в =
?
a = 32см в =
24 см
с =
?
a = 15см в =
20 см
с =
?
в = 12см с =
20 см
а =
?
в = 28см с =
35 см
а =
?
На доске появляются ответы к карточкам и ребята выполняют самопроверку
1) 10 см 5) 15 см 9) 40 см 13) 40 см
2) 24 см 6) 33 см 10) 32 см 14) 25 см
3) 15 см 7) 30 см 11) 36 см 15) 16 см
4) 27 см 8) 20 см 12) 9 см 16) 21 см
Формирование понятия «египетский треугольник»
(для всех типов учеников)
Учитель: В древние века в архитектуре и строительстве пользовался огромной популярностью «чудо» треугольник. Предприимчивые египтяне изобрели интересный способ построения прямого угла. Для этих целей они брали веревку, на которой отмечали узелками двенадцать равных частей, потом с этой веревки складывали треугольник со сторонами, которые равнялись 3, 4 и 5 частям, и в итоге без проблем получали прямоугольный треугольник.
У учителя в руках веревка, которая поделена на 12 равных частей. Через 3, 4 и 5 частей в узелках красные ленточки. Учитель предлагает ученикам (лучше вызвать кинестетиков) взяться за красные ленточки, натянуть веревку и проверить получился ли прямой угол напротив большей части.
Учитель: Итак, треугольник со сторонами 3х, 4х, 5х является египетским. Проверьте это соотношение для ваших треугольников, которые вы решали на карточках (учащиеся проверяют и убеждаются, что их треугольники египетские).
«Мозговой штурм»
(
для
визуалов
и
аудиалов
)
Устное объяснение решений, используя египетский треугольник.
Ответы: 1) 5; 2) 6; 3) 12.
Проверка доказа
тельства теоремы Пифагора
(для всех типов учеников; «Видим, слышим, делаем»)
Учитель переодевается и играет роль Пифагора.
Учитель: О боги, мой ум прошу Вас озарить
Чтоб истину, что всех дороже мне открыть.
Я, в жертву сто быков готов отдать,
Чтоб эту теорему доказать.
Я не один?
Сюда народ пришел, тогда друзья мне помогайте.
Чтоб истину, что всех дороже я нашел.
А, если ошибусь, пожалуйста исправьте.
Всем треугольники равные прямоугольные я дам
(учитель раздает по 4 равных прямоугольных треугольников, с катетами а, в и гипотенузой с)
Себе и Вам вопрос задам,
Возможно, ли так расположить,
Чтобы квадрат в итоге получить?
(ребята складывают квадрат, и каждый находит площади получившихся частей)
Устно чертеж на доске рассмотри
И площадь фигуры каждой найди.
Учитель задает вспомогательные вопросы:
1) Чему равна площадь прямоугольного треугольника? (S1 = ab)
2) Чему равна сторона большего квадрата? (а + в)
3) Чему равна сторона меньшего квадрата? (с)
4) Вычислите площадь большего квадрата (S2 = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2)
5) Вычислите площадь меньшего квадрата со стороной с (S3 = c2)
6) Вычислите площадь меньшего квадрата через больший и треугольники (S3 = S2 – 4 × S1 = a2 + 2ab + b2 – 4 × ab = a2 + b2)
7) Приравняйте полученные площади меньшего квадрата (а2 + в2 = с2)
Подводят итог, на доске ученик воспроизводит все записи доказательства.
Учитель: Все доказал!
Хвала богам, что обещал, отдать придется.
Вот сто быков, все в жертву Вам.
Пусть теорема именем моим зовется.
Учитель раздает ребятам пряники, сделанные в виде «штанов Пифагора».
Учитель: Ребята, мы сегодня доказали теорему Пифагора другим способом. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принес в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Но это противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. Говорят, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы» в связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «…когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
Закрепление полученных знаний
(для всех типов учеников)
Ребята коллективно решают задачи.
Катет прямоугольного треугольника
6 см
, а медиана, проведенная к нему
5 см
. найдите гипотенузу.
Найдите диагональ равнобокой трапеции с основаниями
50 см
и
8 см
, боковой стороной
35 см
.
Подведение итогов
Учитель: По-моему, вы были на уроке не только активными, сообразительными, но и впитывали знания с «аппетитом», и получили от этого удовольствие.
Ребята, я хочу рассказать вам притчу.
Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановил их и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: «Что ты делал целый день?»
И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил эти проклятые камни.
У второго спросил: «А что ты делал целый день?»
И тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».
А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма!».
Пусть каждый сам оценит свою работу на уроке.
У ребят на столах лежат по три разных карточки:
те, кто работал, как первый человек и у кого не совсем все поучалось, поднимут зеленую карточку;
те, кто работал, как второй человек и ответственно выполнял свою работу, поднимут синюю карточку;
те, кто работал с удовольствием, на отлично, поднимут красную карточку.
Учитель аргументирует, где не соглашается с карточками, которые подняли ученики.
Я желаю вам всегда работать с радостью и удовольствием и строить свой храм знаний.
Домашнее задание
1. Доказать теорему Пифагора, используя подобия треугольников (провести из вершины прямого угла перпендикуляр к гипотенузе).
2. Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, а катеты относятся, как 3:4. Найти гипотенузу.
Приложение 1
Из чего состоит пирамида? | Вандополис
Что вы представляете, когда думаете о Древнем Египте? Фараоны? Река Нил? Пустыня? Сфинкс? Мумии?
Конечно же, все эти вещи — вечные образы древнего Египта. Но некоторые из самых популярных изображений, связанных с древним Египтом, — это пирамиды.
Пирамиды построены во многих странах мира. Например, в Судане более 200 пирамид — больше, чем в любой другой стране мира.
Египет, однако, содержит самые известные древние пирамиды. Построенные тысячи лет назад как гробницы для фараонов (египетских правителей) и их семей, по всему Египту было обнаружено более 130 пирамид.
Пирамиды имеют уникальную геометрическую форму. В геометрии пирамида определяется как многогранник, образованный соединением многоугольного основания (двумерная форма с тремя или более прямыми сторонами) с точкой на вершине, называемой вершиной.
Основанием пирамиды может быть треугольник, квадрат, прямоугольник или другая форма с еще большим количеством сторон.Каждая сторона пирамиды (каждое ребро основания и вершина) образует треугольник.
Египетские пирамиды, возможно, были созданы по образцу священного остроконечного камня, называемого бен-бен. Камень бен-бен олицетворял лучи Солнца, и древние египтяне верили, что умершие фараоны попадают в рай с солнечными лучами.
Форма пирамиды позволяет равномерно распределить вес по всей конструкции. Большая часть веса в пирамиде приходится на дно, и чем выше вы поднимаетесь, тем меньше вес. Это позволило древним цивилизациям создавать огромные конструкции из камня, которые были очень прочными.
Самые известные египетские пирамиды находятся в Гизе недалеко от Каира. Пирамиды в Гизе являются одними из самых больших сооружений, когда-либо построенных. Великая пирамида Хуфу в Гизе — самая высокая пирамида в мире. Кроме того, это единственное из Семи Чудес Древнего Мира, которое все еще существует.
Великая пирамида Хуфу построена из более чем 1,3 миллиона огромных блоков известняка, которые весят от 5 000 до 30 000 фунтов. Его четыре стороны обращены точно на север, юг, восток и запад.
Изначально он был 488 футов высотой, но сегодня его высота всего 455 футов. Недостающие 33 фута были высококачественными облицовочными камнями, которые давно были удалены для строительства домов и мечетей в Каире. Возможно, вы заметили некоторые из этих отсутствующих внешних камней на фотографии Великой пирамиды Хуфу.
Никто точно не знает, как именно были построены пирамиды. Без современных машин и строительных технологий древним египтянам удалось создать архитектурные шедевры, которые до сих пор озадачивают ученых.
Одно можно сказать наверняка: для создания пирамид потребовалось огромное количество рабочей силы. Некоторые эксперты считают, что пирамиды могли быть построены всего за 20 000-30 000 рабочих. Однако другие эксперты утверждают, что для этого могло потребоваться более 100 000 рабочих!
Что такое растяжка для веревки? — The American Surveyor
С каждым годом наши полевые рюкзаки все больше нагружаются технологиями — тахеометрами, GPS-навигаторами, лидарами, дронами, приложениями и программным обеспечением — инструментами, которые упрощают работу, позволяют нам генерировать больше данных и расширяют наши возможности.Это заставляет меня задаться вопросом, как трудно было геодезистам прошлого выполнять свою работу!
Что бы они ни делали, они точно знали, что делают.
Как известно большинству геодезистов, в Египте появились первые известные геодезисты, известные как «растяжители канатов» [harpedonaptae по-гречески]. Они получили такое название, потому что одним из инструментов, используемых при геодезии, была калиброванная веревка. Эти веревки были специально обработаны, чтобы сохранить свою длину: их натянули между кольями, а затем натерли смесью пчелиного воска и смолы.Их градуировали 13 узлами, завязанными через равные промежутки (маленькими или большими, в зависимости от предполагаемого использования). Обычно используемая веревка состояла из 12 королевских локтей (локоть — это длина от согнутого локтя до кончиков пальцев, или примерно 20,59 дюйма). Этот инструмент был больше, чем просто веревка с узлами. Это был ключ к практике сакральной геометрии, прерогативе жрецов и членов королевской семьи.
Хатшепсут и Сешат основывают Красную часовню @ Лотар Дерстрофф
Присущая геометрии гармония была принята древними египтянами как свидетельство божественного плана, поддерживающего весь мир.Использование геометрии позволило людям определить и включить этот ранее существовавший божественный порядок в свои структуры. Сакральная геометрия, в которой все фигуры могут быть нарисованы или созданы с помощью прямой линии и компаса, использовалась для создания гармонических пропорций, а практикующими эту геометрию были геодезисты. Процесс закладки зданий совершался буквально религиозно — с тщательно продуманной церемонией. Царские гробницы, храмы, пирамиды и дворцы, даже фараон принимал участие в церемонии, играя роль главного землемера.
«Самое известное изображение церемонии происходит из храма Эдфу. Здесь царь изображен с богиней Сешет, которая является олицетворением искусства письма и знания. Рядом с изображением есть надпись: «Я беру кол и держу ручку молотка. Я держу измерительный шнур вместе с Сешетом». Таким образом, король в основном выступает в роли цепного на церемонии. Король также принимал участие в небесных наблюдениях, по крайней мере, церемониально, чтобы установить выравнивание структур.
— Геодезия в Древнем Египте , Джоэл Ф. Полсон, представлено на рабочей неделе FIG 2005 GSDI-8
Итак, для особых случаев фараону приходилось притворяться надзирателем! Как по мне, звучит очень гармонично.
Больше, чем веревка с узлами
Шнур с 13 узлами, расположенными на равном расстоянии друг от друга, был основным инструментом, используемым для создания различных геометрических фигур. Например, веревку можно использовать для создания равностороннего треугольника, в котором три стороны состоят из четырех частей каждая.Он также может создать прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5 единиц.
Конечно, если у вас есть прямоугольный треугольник с пропорцией 3:4:5, у вас есть основа для прямоугольников и квадратов, которые можно использовать для проектирования практически любого здания.
Самое главное, из этой веревки можно создать круг, который является символом египетского бога Ре (космическая созидательная сила). Когда шнур закручен в виде полного круга, этот радиус составляет 1,91 локтя. . . который также оказывается метром.Знали ли эти древние геодезисты что-то предвидящее?
Как они убедились, что пирамида ровная?
Для создания основания уровня использовался водяной уровень. Коренная порода была покрыта сетью узких траншей, а затем заполнена водой. На всех стенках траншей была отмечена ватерлиния, выступы срезаны, а траншеи заново засыпаны камнем для создания ровного основания.
Второй тип уровня представлял собой А-образную раму с отвесом, подвешенным к вершине. Поскольку египтяне понимали принцип равнобедренного треугольника, камни можно было резать и обтесывать квадратами, а затем с помощью этого инструмента для точности устанавливать их на место.С помощью этих инструментов египетские геодезисты смогли построить сооружения, свидетельствующие об их понимании геометрической гармонии и сложных инженерных принципов.
Используя простую веревку с узлами и два типа уровней, египетские геодезисты смогли создать сооружения, которые и по сей день считаются чудом света.
Геометрия Великой пирамиды в Гизе до сих пор остается горячей темой для обсуждения. Факты довольно прямолинейны. Пирамида была самым большим памятником такого рода из когда-либо построенных и остается одним из семи чудес света Древнего мира.Он был построен примерно из 2,3 миллиона каменных блоков, многие из которых весят более 3 тонн, а общий вес оценивается примерно в 6 миллионов тонн.
Однако самым ошеломляющим аспектом пирамиды является ее геометрия.
- Если 2pi умножить на периметр пирамиды, то сумма будет равна ее высоте.
- Азимут Пирамиды во время восхода солнца в день летнего солнцестояния измеряется от истинного севера (с погрешностью всего в 3/60 градуса), а стороны, кажется, создают эффект тени, из-за чего кажется, что у пирамиды восемь сторон вместо четырех.
- Основание Пирамиды выровнено с точностью до 2,1 сантиметра; среднее отклонение сторон от основного направления составляет 3 фута 6 дюймов дуги.
- Наибольшая разница в длине сторон Пирамиды составляет 4,4 сантиметра.
Какая потрясающая съемка!
Однако не все египетские геодезисты работали над строительством пирамид — много работы было по обследованию близлежащих полей. Большая часть земли принадлежала фараону, а это означало, что фараон был очень заинтересован в сборе ренты и налогов с земли.(В конце концов, нужно было строить гробницы и пирамиды, и они стоили недешево). Интересно, что эта дихотомия ролей в опросах актуальна и сегодня. Обязанности геодезиста могут варьироваться от нового строительства крупных объектов, таких как небоскребы, до разметки границ жилой недвижимости. Как понял фараон в свое время, оба навыка являются основой успешной культуры.
В те времена геодезию приходилось делать ежегодно из-за ежегодного разлива Нила. Некоторые памятники пережили затопление, но землю нужно было заново обследовать, и для наведения порядка были привлечены канатоходцы.
Геродот (484–425 гг. до н. э.) написал в пункте 109 Книги II Enerpre следующее:
Египет был расчленен: и они сказали, что этот царь раздал землю всем египтянам, дав каждому равную квадратную долю, и от этого он получил свой доход, назначив им платить определенную ренту каждый год: и если река уносила что-либо из доли человека, он приходил к царю и извещал о том, что случилось, и царь посылал людей осмотреть и выяснить путем измерения, насколько меньше стал участок земли, чтобы в будущем человек мог платить меньше, пропорционально назначенной ренте…
Узнав больше о том, как работали древние египетские тянущие канаты, я узнал об одной элементарной теории.«Чем больше вещи меняются, тем больше они остаются прежними». Другими словами, хотя инструменты древних египтян сегодня кажутся рудиментарными, принципы измерения и построения остаются такими же, как и тогда. Мы полагаемся на ту же сакральную геометрию, тригонометрические формулы и универсальный математический язык, и они останутся фундаментальными принципами, на которые будут опираться веками в будущем. ◾
Эмили Пирс — менеджер по развитию бизнеса Berntsen. Бывший президент Висконсинского общества землеустроителей, Пирс имеет многолетний опыт работы геодезистом и руководителем.До прихода в Berntsen Эмили работала директором по геодезическим работам и старшим землемером в компании Steigerwaldt Land Services, LLC в Томагавке, штат Висконсин. Она также работала инспектором округа Марафон, штат Висконсин.
Каталожные номера:
Веревщик изображение: Создано: около 1400 года, дата QS:P571,+1400-00-00T00:00:00Z/9, P1480, Q5727902-1352 B.C. Период: Династия Нового Царства:
Династия 18 Правление: правление Тутмоса IV – Аменхотепа III
https://www.fig.net/resources/proceedings/fig_proceedings/cairo/papers/wshs_02/wshs02_02_paulson.pdf
https://www.researchgate.net/publication/225981423_Harpedonaptae_and_abstract_convexity
Математические факты о Великой пирамиде — Хэндилор
Сакральная геометрия — Исследовательский фонд Техути (egypt-tehuti.org)
Геометрия
Золотое руно > Геометрия
ремесленное искусство и музыкальная мера
для твоего удовольствия все вместе.
Измерение земли
Одомашнивание злаков около 10 000 лет назад в конце концов привело к необходимости измерения земли. Одомашнивание животных (коз, овец, свиней и крупного рогатого скота) примерно через тысячу лет стало основой конфликта между земледельцами и скотоводами. За это время круглые дома превратились в постройки с прямоугольными комнатами.
Более раннему выращиванию дикорастущих злаков, возможно, способствовало глобальное потепление между 14 000 и 10 000 лет назад, когда средние температуры повысились, а климат стабилизировался с меньшими колебаниями температуры.Климат стал более засушливым, с более четко выраженными сезонами. Эти изменения способствовали распространению диких злаковых трав, которые росли в изобилии до тех пор, пока распространение лесов не уменьшило количество открытых земель. Уровень моря поднялся примерно на 30 метров, и вымерли древние волки Аляски, а также саблезубая кошка и другие крупные млекопитающие.
Около 5000 лет назад во всем мире произошло резкое падение температуры, в результате чего условия стали более прохладными и сухими. Города Шумера развивались по мере изобретения ирригации.Гильгамеш правил городом Урук. Школами писцов (шумерское эдубба) руководили профессиональные учителя (называемые «отцами»), которые со своими помощниками («старшими братьями») обучали «сыновей табличного дома» в своих областях. Было три специализированных направления обучения; язык, счет и съемка (полевой писец). Писцы отвечали не только за письмо, но и за подсчет количества и съемку полей. Писцы были почти полностью мирской группой; священники и королевские чиновники обычно были неграмотны.
Знание того, как сформировать идеальный квадрат, было важным в строительном искусстве со времен древних египтян. Harpedonaptae (буквально в переводе означает «растяжители веревки») Древнего Египта были высококвалифицированными специалистами, которых вызывали для прокладки фундаментов зданий.
Краеугольный камень был заложен в северо-восточном углу здания, потому что Harpedonaptae сначала выложили северную и южную линии, наблюдая за звездами и солнцем.Затем веревка с равномерно расположенными узлами использовалась для формирования идеальных углов зданий и пирамид. Древние египтяне знали, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 образует прямой угол.
Древние египтяне знали о соотношении квадратов на сторонах треугольника 3, 4, 5; 9+16=25. Древние греки признали общую теорию, применимую ко всем прямоугольным треугольникам, известную как 47-е положение Евклида. Квадрат, нарисованный на стороне, противоположной прямому углу (любого прямоугольного треугольника), равен квадратам, начерченным на сторонах, образующих прямой угол.Доказательство 47-го предложения Евклида зависит от знания того, что площадь любого треугольника равна половине основания на перпендикулярную высоту. Геометрия — греческое слово, означающее измерение земли.
Площадь масонов
Свободные и признанные каменщики восемнадцатого века приняли квадрат плотника как символ, иллюстрирующий кодекс поведения. Более короткая рука олицетворяла целостность, происходящую от трех моральных добродетелей; веры, надежды и любви.Более длинная рука представляла искренность, выраженную в четырех социальных добродетелях; благоразумие, сила духа, умеренность и справедливость.
Образование свободных людей использовало аллегорию для представления знаний. В средневековом университете изучение семи свободных искусств началось с Trivium; грамматику, риторику, логику, а затем перешел в квадривиум; геометрия, арифметика, музыка и астрономия.
Масоны создали множество иллюстраций своих символов. В этом дизайне столярный угольник и циркуль опираются на закрытую Библию, а мастерок на переднем плане.Семь звезд вокруг луны намекают на семь свободных искусств и наук или на семь масонов, которые должны присутствовать, чтобы инициировать кандидата. Объединенная Великая Ложа Англии описывает семь прогрессивных должностей в буклете, который вы можете просмотреть в Интернете или загрузить в виде файла в формате PDF: Стюард, Внутренняя стража, Младший и старший дьяконы, Младший и старший надзиратели и Мастер ложи.
Во времена сэра Кристофера Рена ложа была сформирована пятью масонами: Тайлером, младшим и старшим надзирателями, мастером ложи и новым масоном.Тайлер был древним офисом, ответственным за доставку повесток на собрания ложи и выполнение функций привратника, что было особенно важно для любого собрания ложи в таверне. У Тайлера также была традиционная роль представителя бедных и обездоленных масонов.
Новый масон играл важную роль в приеме следующего ученика. Сначала он допускал кандидата на острие мастерка. В северо-восточной части ложи он подносил плоскую поверхность мастерка кандидату для получения любых пожертвований для бедных и бедствующих масонов.Наконец, он передаст мастерок новому ученику. Отсюда и выражение, «что сами монархи не сочли унизительным для своего достоинства поменять скипетр на мастерок».
Таблица компаса
Этот компасный стол представляет собой переплетение компаса и квадрата в трех измерениях. Столярный угольник соединен с деревянным компасом, а изогнутый край стеклянной столешницы соответствует радиусу стрелок компаса.
Великий геометр
На средневековых картинах Бог изображался как Великий Геометр, измеряющий землю чертежным компасом — инструментом, используемым в архитектуре для создания идеального круга.
Copyright © 2001-2009 The Fleece. Все права защищены.
Праздник празднования зимнего солнцестояния 2013 Сказочный недельный отпуск в Луксоре с посещением многих древних памятников, кульминацией которого станет празднование середины зимнего солнцестояния в великолепном храме царицы Хатшепсут. 16-23 декабря: Рекомендуемое чтение | Геометрический рисунок Дэвид Ферлонг Рассмотрение геометрического проекта Великой пирамиды Обсуждение Треугольники в твердой форме Шаг 1: Нарисуйте равносторонний треугольник SXY на продолженной базовой линии AB Шаг 2: Постройте два равносторонних треугольника QST и RSR на общем основании ST. Нарисуйте линию QR. Шаг 3: С помощью радиуса QR нарисуйте дугу к линии AB в точке N.С радиусом RQ проведите дугу к линии разреза AB в точке M. Проведите линии SN и SM. Треугольник SMN равен поперечному сечению Великой пирамиды. Шаг 4: Нарисуйте окружность с центром O и диаметром ST. Радиусом SC впишите дугу, чтобы разрезать ST в точке Kc. Точка Kc устанавливает уровень Камеры Царя. Линия Kc Y задает направление для Большой галереи. Шаг 5: Из точек P1 и P2 начертите круги «vesica» с радиусами P1Q и P2R. Обе окружности по определению проходят через точки S и T.Там, где центр окружности P2 проходит через SN в точке E, отмечается положение входа в пирамиду и начало нисходящего коридора. Шаг: 6 Положение всех камер на графике относительно этого базового шаблона проектирования. Резюме Библиография: Другие ссылки статьи: |
Эта книга содержит новаторские материалы, которые предполагают связь между египетскими пирамидами и ландшафтными узорами в сельской местности Англии.См. статью: Ключи от храма . Купить в твердом переплете на Amazon
|
[PDF] Математика 135 Раздел 3.3. Прямоугольные треугольники
1 Mth 135 Set 3.3 Прямоугольные треугольники Истоки прямоугольной геометрии восходят к 3000 г. до н.э. в Древнем Египте. Эги…
Математика 135 Раздел 3.3 Прямоугольные треугольники Истоки геометрии прямоугольных треугольников можно проследить до 3000 г. до н.э. в Древнем Египте. Египтяне использовали специальные прямоугольные треугольники для съемки земли, измеряя 3-4-5 прямоугольных треугольников, чтобы получить прямые углы. Египтяне в основном понимали прямоугольные треугольники с точки зрения отношений или того, что сейчас называют пифагорейскими тройками.Египтяне также не разработали формулы соотношения сторон прямоугольного треугольника. В этот период истории важно знать, что египтяне также не разработали понятие переменной или уравнения. Египтяне больше всего изучали конкретные примеры прямоугольных треугольников. Например, египтяне используют веревки для измерения расстояний, чтобы сформировать прямоугольные треугольники, которые были в отношениях целых чисел. На следующем рисунке показано, как можно сформировать прямоугольный треугольник 3-4-5, используя веревки для создания прямого угла.5 узлов 3 узла
4 узла
Только около 500 г. до н.э. греческий математик Пифагор обнаружил, что существует формула, описывающая соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Эта формула была известна как теорема Пифагора. Теорема Пифагора В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. B
A
c2 a2 b2
C
Теорема Пифагора
Используйте следующий рисунок, чтобы вывести теорему Пифагора.в 2 а 2 б 2 Вот!
Площадь квадрата = Площадь маленького квадрата + Площадь четырех треугольников 2ab c 2 b 2 2ab a 2 2ab c2 a2 b2
Пример 1 Определить, имеет ли треугольник, измеренный веревками, прямой угол.
Если вы посчитаете количество узлов на каждой стороне треугольника, вы получите соотношение 6-8-10.
10 узлов 6 узлов
8 узлов
Подставив эти значения в теорему Пифагора, используя 10 в качестве гипотенузы и две другие стороны в качестве катетов, вы можете определить, является ли треугольник прямоугольным.c2 a2 b2 10 2 6 2 8 2 10 36 64 100 100
Поскольку формула проверяет, треугольник является прямоугольным, что дает нам прямой угол. Вот несколько примеров того, как можно использовать теорему Пифагора для нахождения недостающей стороны прямоугольного треугольника.
Пример 2 Предположим, что два катета прямоугольного треугольника равны 5 единицам и 12 единицам. Найдите длину гипотенузы. Чтобы найти решение, подставьте значение катетов в теорему Пифагора и найдите гипотенузу.Пусть a = 5 и b = 12, и найдите cc 2 = 5 2 + 12 2 c 2 = 25 + 144 c 2 = 169 c 2 = 169 c = 13
Пример 3 Предположим, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 единиц и один катет равен 10 единицам, найдите меру другого катета. Чтобы найти решение, подставьте значение катета и гипотенузы в теорему Пифагора и найдите недостающий катет.
Дано а 10, в 26, найти б 26 2 10 2 б 2 676 100 б 2 676 100 100 100 б 2 576 7 б 2 5 б 2 с 2 б 2 Теорема Пифагора Теорема Пифагора имеет несколько приложений в реальной жизни.Это связано с тем, что очень многие задачи могут быть смоделированы или представлены прямоугольным треугольником. Если это так, то сторонам треугольника можно присвоить значения, а неизвестное значение можно найти, найдя недостающую сторону треугольника. Вот несколько примеров применения прямоугольных треугольников и теоремы Пифагора
Пример 4 Пустой участок имеет размеры 120 футов на 50 футов. Сколько футов вы сэкономите, пройдя участок по диагонали вместо длины и ширины?
50 футов
120 футов
120 футов
C 2 120 2 50 2 C 2 14400 2500 C 2 16900 C 2 16900 C 130 FT
по сравнению с ходьбой 120 футов + 50 футов = 170 футов вы сэкономит ходьбу 170 футов – 130 футов = 40 футов Пример 5 Диагональная скоба должна быть размещена в стене комнаты.Высота стены 10 футов, длина стены 24 фута. (См. схему ниже) Какова длина расчалки?
10 футов
24 фута
c 2 10 2 24 2 c 2 100 576 c 2 676 c 2 676 c 26 футов
оттяжные провода. Если растяжки находятся на расстоянии 40 футов от основания антенны, а антенна имеет высоту 50 футов, какова длина каждой растяжки?
H = 50 футов
40 футов
40 футов
40 футов
C 2 40 2 50 2 C 2 1600 2500 C 2 4100 C 2 4100 C 64 фута
Специальные треугольники 450 Треугольник 450 90 0 В треугольнике 450 450 90 0 гипотенуза равна катету.Доказательство:
45 c
x
45 x c2 x2 x2 c 2 2x 2 c 2 2x 2 cx 2
2 раза больше длины
Треугольник 60 0 90 0 В треугольнике 30 0 60 0 90 0 длина гипотенузы в два раза превышает длину более короткого катета, а длина более длинного катета в
в 3 раза больше длины более короткого катета.
Доказательство: начните с равностороннего треугольника со стороной x и постройте диагональ к основанию x треугольника.Получится два треугольника 30 0 60 0 90 0 с основанием, равным 2
30
x
b
60
60 x/2
3 90 недостающая сторона. C2 A2 B2 2
x
2
x2 b2 b2
x b2 2 x4 b2 4 x2 2 x 4 2 3x 4
b2
3x 2 3 b x 4 2
Поскольку длинная сторона равна b x
3 , длинная сторона будет 2
3 раза короче
3,4,5 треугольник | РозаЛиндентри
Исследуя Древний Египет в июне для исследований Лили, я наткнулся на треугольник 3,4,5.По-видимому, древние египтяне использовали веревку из 12 (мы использовали метров) узловых звеньев. Из углов 3 м и 7 м получается прямой угол или египетский треугольник. Увлекательное знакомство с геометрией без циркуля или линейки.
Мы с отцом вышли в хоф (двор между домом и амбарами) с веревкой, палками, мерками, фломастерами и флягами с водой, создали в грязи египетский треугольник. После того, как мы отметили треугольник, мы перевернули его и сделали еще один треугольник для прямоугольника, затем отметили центр и сделали круги диаметром 3, 4 и 5 м.Наконец мы закончили с центральной стойкой и сделали пирамиду! Очень веселое визуальное исследование.
Пока мы путешествуем, я обучаю Лили дома. Я следую учебному плану Вальдорфа так близко, как только могу (под руководством ее учителя в Австралии), хотя сама не являюсь обученным учителем. Обычно это работает очень хорошо, и это фантастическая возможность научить Лили в тех областях, в которых у нее есть проблемы.Однако добиться ее мотивации не всегда легко, и различие между родителем и учителем интересно (читай, сложно, вдохновляюще, разочаровывает) для меня. Я так многому учусь вместе с ней и наслаждаюсь интеллектуальной стимуляцией и открытиями в исследованиях. Трудно поддерживать постоянство, когда мы много переезжаем, поэтому этот 6-недельный перерыв с моими родителями в Германии стал хорошей основой для учебы. Мы посетили Египетский музей в Берлине, который вдохновил нас невероятно детализированной и красивой резьбой и картинами.Здесь находится знаменитый бюст Нерфетити, который нельзя сфотографировать, поэтому мы взяли свои альбомы и нарисовали ее. Охранник сказал, что Лили была самой молодой художницей, которую он видел, рисовавшей ее.
В ее альбомах для рисования полно изображений Египта.
Нравится:
Нравится Загрузка…
Связанные Опубликовано в Обучение через игру, Путешествия, путешествия по Германии | Tagged домашнее обучение, обучение через игру, путешествия по ГерманииГеометрия Древнего Египта – Пропорции пирамид
«Трехмерное мышление» Стр. 74–87: Соотношение наклонов, размеры, конструкция и методы выравнивания пирамид Древнего Египта:
СКЛОНЫ ЕГИПЕТСКИХ ПИРАМИД
Учитывая традиции целых чисел Древнего Египта, можно было бы ожидать, что склоны пирамид также будут иметь целочисленные пропорции.Сетки целых чисел из квадратов и кубов использовались для пропорции как стеновых конструкций, так и трехмерных структур. Было бы разумно использовать пропорции целых чисел для контроля наклонов пирамид во время строительства, поскольку их легко передать и измерить. Учитывая, что пирамиды в Древнем Египте находятся в таком плохом состоянии, определить фактические размеры и наклоны непросто, если не сохранились некоторые облицовочные камни. Наилучшие оценки наклонов следующие, где исключением, по-видимому, является пирамида Нефериркара, где наклон ближе к иррациональному, чем к целому числу, но он кажется пропорциональным диагонали квадрата, и это само по себе может иметь значение. было довольно легко контролировать.Геометрия Божественные Пропорции
ПРИМЕРНЫЕ РАЗМЕРЫ И СООТНОШЕНИЯ НАКЛОНА
KHUFU (CHEOPS) 14/11 Основание 232,4 м x высота 146,7 м; ХАФРЕ (ЧЕФРЕН) 4/3 Основание 215,3 м x высота 143,5 м; SNEFRU (красная пирамида) 1/1 ? База 218,5 м x высота 104,4 м; NEFERIRKARE √2 Основание 104 м x высота 73,5 м; DJOSER 1/1 База 125 м x 109 м, высота 62 м; MENKAURE (MYCERINUS) 4/3 Основание 102,2 м x 104,6 м, высота 65 м; HETEPHERES 4/3 ? База 45.5 м х 46,5 м х 45,7 м Вт х 29 м; MERITITES 4/3 Основание 47,8 м x 49,4 м x 48,2 x 47,1 м, высота 30,5 м; HENUTSEN 4/3 Основание 45,5 м x 46,8 м x 45,2 м Высота 30,6 м. Обратите внимание, что отношение 4/3 соответствует треугольнику 3,4,5, который позже будет назван пифагорейской тройкой.
Хуфу, Хафре и Менкауре, Пирамиды Гизы, Каир, мухафаза Гиза, ЕгипетСТРОИТЕЛЬСТВО
Существует множество теорий относительно конструкции пирамид, в том числе рампы, спирально окружающие пирамиды, или длинная рампа с наклоном вверх с одной стороны, на которой расположены известняковые блоки весом порядка 1.Как показано на настенных росписях, на деревянных салазках тянули от 3 до 10 тонн. Другие теории включают использование роликов или шкивов и кранов. Большинство теорий предполагают построение пирамид слоями, где, например, пирамиды Хуфу имеют 210 слоев с более крупными камнями (1,5 м) в нижних слоях и меньшими по направлению к вершине (примерно 1,25 м х 1,25 м х 0,75 м).
ВЫРАВНИВАНИЕ
Наиболее интересной задачей при строительстве пирамид Древнего Египта было соблюдение выравнивания квадратных профилей слоев, угла наклона и центрирования вершины.Теперь, когда видны внутренние слои камней, мы можем видеть неровности используемых камней, поэтому точное выравнивание, основанное на простом укладывании камней, было бы трудным, но не невозможным. Строительство деревянного каркаса или лесов, которые точно окружили бы пространство, в котором будет построена пирамида, было бы отличным вариантом, но сомнительно, что было бы достаточно древесины. Возможна постройка центральной башни из камня — монумент Вашингтона имеет высоту 170 метров (555 футов), и такая башня обеспечивала бы точки выравнивания на всех этапах строительства.Если бы выравнивание было основано на послойном методе, то отношения целых чисел были бы особенно полезны, так как треугольные деревянные инструменты со сливами можно было бы построить с достаточной степенью точности, но по мере накопления слоев потребовалось бы много корректировок.