Чему равны углы в египетском треугольнике. Египетский треугольник. Прямой угол без инструмента.
Допустим, у нас есть линия к которой нам нужно выставить перпендикуляр, т.е. еще одну линию под углом 90 градусов относительно первой. Или у нас есть угол (например, угол комнаты) и нам нужно проверить равен ли он 90 градусам.
Все это можно сделать с помощью одной только рулетки и карандаша.
Есть две отличные штуки, такие как «Египетский треугольник» и теорема Пифагора, которые нам в этом помогут.
Когда будут найдены причины и цели, поиск инновационных знаний будет естественным следствием. Вы должны быть оптимистами, но этого недостаточно. Верования должны превращаться в действия. Если возможно, не в изолированных действиях. Если класс — это единственное пространство, которое нужно иметь, нужно грамотно занять его и сделать реальным то, о чем когда-то мечтали.
Происхождение геометрии несколько туманно, как одно из многих знаний о математике, в которой невозможно приписать одному человеку его открытие. Однако считается, что его начало в Египте и самые ранние свидетельства современной геометрии датируются примерно 600 годом до нашей эры.
Итак, Египетский треугольник — это прямоугольный треугольник с соотношением всех сторон равным 3:4:5 (катет 3: катет 4: гипотенуза 5).
Египетский треугольник напрямую связан с теоремой Пифагора — сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (3*3 + 4*4 = 5*5).
Как нам это может помочь? Все очень просто.
Задача №1. Н ужно построить перпендикуляр к прямой линии (например, линию под 90 градусов к стене).
Несмотря на свою важность в историко-культурном контексте, геометрия недостаточно изучена. При этом навыки, которые будут разработаны у студентов, устарели. Согласно учебному предложению Санта-Катарины в отношении преподавания геометрии и компетенций, которые должны быть разработаны в студенте, необходимо учитывать некоторые факторы.
Изучение или исследование физического пространства и форм. Ориентация и визуализация и представление физического пространства. Визуализация и понимание геометрических форм. Обозначение и признание форм в соответствии с их характеристиками. Классификация объектов по их формам.
Шаг 1 . Для этого от точки №1 (где будет наш угол) нужно отмерить на этой линии любое расстояние кратное трем или четырем — это будет наш первый катет (равный трем или четырем частям, соответственно), получаем точку №2.
Для простоты вычислений можно взять расстояние, например 2м (это 4 части по 50см).
Изучение свойств фигур и отношений между ними. Построение геометрических фигур и моделей. Построение и обоснование отношений и предлогов, основанных на гипотетических дедуктивных рассуждениях. Для этого компетенции, относящиеся к геометрии, должны быть переданы со второго года начальной школы с учетом уровня абсорбции содержания ученика.
В обществе принято и принято, принцип «делать математику — решать проблемы». В связи с этим решение проблемы представляет собой предмет для исследователей и математиков. Понимание трудностей, с которыми сталкивается большинство студентов, сталкивающихся с этой жизненно важной деятельностью, сталкивается с большими проблемами. Первым, конечно же, является точное понимание проблемы. Для Лакатоса и Маркони «проблема — трудность, теоретическая или практическая, в знании чего-то реального значения, для которого нужно найти решение», и это понимание имеет фундаментальное значение для студентов, чтобы они работали с разрешением проблемы.
Шаг 2 . Затем от этой же точки №1 отмеряем 1,5м (3 части по 50см) вверх (выставляем примерный перпендикуляр), чертим линию (зеленая).
Шаг 3 . Теперь из точки №2 нужно поставить метку на зеленой линии на расстоянии 2,5м (5 частей по 50см). Пересечение этих меток и будет нашей точкой №3.
Соединив точки №1 и №3 мы получим линию-перпендикуляр нашей первой линии.
Во-первых, можно сказать, что решение проблемы, как стратегия развития математического образования, должно избавиться от этого чувства «необходимого зла», созданного бесконечным списком «проблем», которые, как правило, в конце каждой единицы Программа, учитель представляет студентам.
Традиционное использование проблем, сводящееся к применению и систематизации знаний, привлекает неприязнь и незаинтересованность студента, препятствуя их полному интеллектуальному развитию. Чрезмерная подготовка определений, методов и демонстраций становится рутинной и механической деятельностью, в которой оценивается только конечный продукт. Несоблюдение этапов исследования и передачи логико-математических идей не позволяет строить концепции. Таким образом, «математическое знание не представляет собой ученика как систему понятий, что позволяет ему решать множество проблем, а как бесконечную символическую, абстрактную, непонятную речь».
Задача №2. Вторая ситуация — есть угол и нужно проверить прямой ли он.
Вот он, наш угол. Крнечно проще проверить большим угольником. А если его нет?
>>Геометрия: Египетский треугольник. Полные уроки
Математические знания эволюционировали лишь от многих ответов на многие вопросы, заданные на протяжении всей истории. Творчество, критическая перепись, любопытство и удовольствие составляли топливо, которое подпитывало этот процесс открытия. По словам Поля, схема решения проблем.
Систематическое использование этой схемы помогает студенту организовать мышление. Конфронтация его первоначальной идеи решения с решением коллеги или группы способствует обучению, таким образом, переоценивая роль учителя. Самые ранние свидетельства зачатков тригонометрии возникли как в Египте, так и в Вавилоне, из расчета соотношений между числами и между сторонами аналогичных треугольников.
Тема урока
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Углубить знания по геометрии, изучить историю происхождения.
- Закрепить теоретические знания учащихся о треугольниках в практической деятельности.
- Познакомить учащихся с Египетским треугольником и его применением в строительстве.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные — посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Полезно вспомнить.
- Тоеугольник.
Вступительное слово
Знали ли в дре
mtlarena.ru
Расчет острых углов египетский треугольник. Египетский треугольник. Прямой угол без инструмента. Как нам это может помочь? Все очень просто.
Ка-ж-дый, кто внимательно слушал в школе преподавателя геометрии, очень хорошо знаком с тем, что представляет собой египетский треугольник. От других видов подобных с углом в 90 градусов он отличается особым соотношением сторон. Когда человек впервые слышит словосочетание «египетский треугольник», на ум приходят картины величественных пирамид и фараонов. А что же говорит история?
Эксперты египетской геометрии назывались «арпедонапти», те, кто связывают веревки. Именно затягивая веревки, они нарисовали две простейшие и наиболее важные линии в геометрии: прямую линию и круг. Во-первых, просто затягивая веревку между двумя точками, вид операции, изображение которой все еще присутствует в выражениях «рисовать линию», «рисовать перпендикуляр»; Второй, заставляя одну из двух точек поворачиваться вокруг другой, которая удерживается фиксированной. Могут ли они представить себе степень развития этих двух элементарных практик?
Как это всегда бывает, в отношении названия «египетский треугольник» есть несколько теорий. Согласно одной из них, известная теорема Пифагора увидела свет именно благодаря данной фигуре. В 535 году до н.э. Пифагор, следуя рекомендации Фалеса, отправился в Египет с целью восполнить некоторые пробелы в познаниях математики и астрономии. Там он обратил внимание на особенности работы египетских землемеров. Они очень необычным способом выполняли построение с прямым углом, стороны которой были взаимосвязаны одна с другой соотношением 3-4-5. Данный математический ряд позволял относительно легко связать квадраты всех трех сторон одним правилом. Именно так и возникла знаменитая теорема. А египетский треугольник как раз и есть та самая фигура, натолкнувшая Пифагора на гениальнейшее решение. Согласно другим историческим данным, фигуре дали название греки: в то время они часто гостили в Египте, где могли заинтересоваться работой землемеров. Существует вероятность, что, как это часто бывает с научными открытиями, обе истории произошли одновременно, поэтому нельзя с уверенностью утверждать, кто же придумал первым название «египетский треугольник». Свойства его удивительны и, разумеется, не исчерпываются одним лишь
icaev.ru
Египетский треугольник Пифагора: свойства, углы, стороны
В математике есть определенные каноны, которые явились, так сказать, фундаментом или основанием всего последующего развития современной математики. Одним из этих канонов, по праву можно считать теорему Пифагора.
Кому еще со школьных времен не известна смешная формулировка теоремы Пифагора: «Пифагоровы штаны во все стороны равны». Ну да, правильно это звучит так: «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов «, но про штаны гораздо лучше запоминается.
Нагляднее всего это видно на треугольнике со сторонами 3-4-5. Но если изучить внимательно использование такого треугольника в древней истории, то можно заметить одну занимательную вещь и называется она ни как по другому, как Египетский треугольник.
Этот самый философ и математик Пифагор Самосский из Греции, именем которого и названа эта теорема, жил примерно 2,5 тысяч лет тому назад. Ну конечно дошедшая до нашего времени биография Пифагора не совсем достоверна, но, тем не менее, известно что Пифагор много путешествовал по странам Востока. В том числе он был и Египте и Вавилоне. В Южной Италии Пифагор основал свою знаменитую «Пифагорову школу», которая сыграла очень даже важную роль, как в научной, так и политической жизни древней Греции. С тех времен по преданиям Плутарха, Прокла и других известных математиков того времени, считалось, что эта теорема до Пифагора известна не была и именно по этому её назвали его именем.
Но история говорит что это не так. Обратимся туда, где бывал Пифагор и что видел, прежде чем сформулировать свою теорему. Африка, Египет. Бесконечный и однообразный океан песка, почти ни какой растительности. Редкие кустики растений, едва заметные верблюжьи следы. Раскаленная пустыня. Солнце и то кажется тусклым, как будто покрытым этим вездесущим мелким песком.
И вдруг, как мираж, как видение, на горизонте возникают строгие очертания пирамид, изумительных по своим идеальным геометрическим формам, устремленным к палящему солнцу. Своими огромными размерами, и совершенством своих форм они изумляют.
Скорее всего, Пифагор их видел в ином виде, нежели как они выглядят сейчас. Это были сияющие полированные громады с четкими гранями на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с величественными царскими пирамидами стояли пирамиды поменьше: жен и родичей фараонов.
Власть фараонов Древнего Египта была непререкаемой. Фараонов считали божеством и отдавали им божественные почести. Фараон-бог был вершителем судьбы народа и его покровителем. Даже после смерти культ фараона имел преогромное значение. Умершего фараона сохраняли веками, и для сохранения тела фараона сооружали гигантские пирамиды. Величие, архитектура и размеры этих пирамид поражают и сейчас. Недаром эти сооружения относили к одному из семи чудес света.
Изначально назначение пирамид было не только как усыпальниц фараонов. Считают что они сооружались как атрибуты могущества, величия, и богатства Египта. Это памятники культуры того времени, хранилища истории страны и сведений о жизни фараона и его народа, собрание предметов быта того времени. Кроме того однозначно, что пирамиды имели определенное «научное содержание». Их ориентирование на местности, их форма, размеры и каждая деталь, каждый элемент настолько тщательно продумывались, что должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Очевидно что они строились на тысячелетия, «навечно». И недаром арабская пословица гласит: «Все на свете страшится времени, а время страшится пирамид».
Своим аналитическим умом Пифагор не мог не заметить определенную закономерность в формах и геометрических размерах пирамид. Скорее всего, это и натолкнуло Пифагора на анализ этих размеров, что впоследствии и было им выражено своей знаменитой теоремой, от которой ныне и отталкивается современная геометия.
Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два треугольника с внутренним углом равным 51°50′.
Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание СВ = 116, 58 м, высота АС = 148,28 м.
Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется «золотым» прямоугольным треугольником.
Получается что основной «геометрической идеей» пирамиды Хеопса является «золотой» прямоугольный треугольник. Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такой треугольник называют «священным» или «египетским» треугольником. По мнению многих известных историков, «египетскому» треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со «священным» треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание — жене, а гипотенузу — тому, что рождается от обоих.
Для египетского треугольника со сторонами 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, а это и есть знаменитая теорема Пифагора. По неволе напрашивается вопрос: не это ли соотношение хотели увековечить египетские жрецы, построив пирамиду в основе которой лежит треугольник 3:4:5. Пирамида Хефрена наглядное подтверждение того что знаменитая теорема была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.
Неизвестно как это попало к древним египтянам, то ли это заслуга их ученых, то ли это дар из вне, не исключается и то, что это дар внеземной цивилизации, но использование такого треугольника давало египетским строителям очень существенную и к тому же простую возможность при возведении таких огромных сооружений соблюдать точные геометрические размеры. Ведь свойства этого треугольника таковы, что его угол между катетами является равный 90 градусов. То есть использование такого элемента позволяет обеспечить точную перпендикулярность сопрягаемых элементов и естественно всей конструкции, что и подтверждает архитектура древнего Египта.
Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.
Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства «египетского треугольника» были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.
Знаменитая древнеегипетская пословица «Делай, как делается», дошедшая до наших дней, наталкивает на мысль что сами египтяне, возводившие эти строительные шедевры, были простыми исполнителями и особыми знаниями не обладали, а все секреты были скрыты от непосвященных. Ведь работами на строительстве руководили жрецы — члены особой привилегированной замкнутой касты. Они были хранителями древних знаний, которые держались в секрете. Но пытливый ум великого мыслителя Пифагора сумел разгадать один их этих секретов.
Умы людей всегда будоражат разнообразные загадки, и это, вероятно, будет всегда. Египетский треугольник, хоть и известен человечеству с незапамятных времён, все-таки одна из не полностью разгаданных тайн.
Ведь, что не говори, а форма египетского треугольника и проста, и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты — линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это и мальтийский крест, и серединное сечение пирамиды Хефрена, и фрактальный ряд убывающих — возрастающих, по размерам египетских треугольников в соответствии с правилом золотого сечения. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.
До сих пор в мире есть много пытливые люди, которые как безумцы изобретают вечный двигатель, ищут квадратуру круга, философский камень и книгу мёртвых. Скорее всего, усилия их тщетны, но даже в случае с Египетским треугольником, ясно что «простых тайн» на земле еще много.
dasinok.ru
Египетский треугольник
Разделы: Математика
Очень важно, чтобы материал, с которым учащиеся познакомятся на уроке, вызвал у них интерес.
О теореме Пифагора
Уделом истины не может быть забвенье,
Как только мир ее увидит взор,
И теорема та, что дал нам Пифагор,
Верна теперь, как в день ее рожденья.
За светлый луч с небес вознес благодаренье
Мудрец богам не так, как было до тех пор.
Ведь целых сто быков послал он под топор,
Чтоб их сожгли как жертвоприношенье.Быки с тех пор, как только весть услышат,
Что новой истины уже следы видны,
Отчаянно мычат и ужаса полны:
Им Пифагор навек внушил тревогу.
Не в силах преградить той истине дорогу,
Они, закрыв глаза, дрожат и еле дышат.
(А. фон Шамиссо, перевод Хованского)
Пифагор, VI в. до н. э. (580 – 500), древнегреческий философ и математик. Первым заложил основы математики как науки, имел свою школу (школа Пифагора). Ему приписывают и открытие так называемой теоремы Пифагора, хотя геометрическая интерпретация этой проблемы была известна и раньше.
Задача на смекалку
Поликрат (известный из баллады Шиллера тиран с острова Самос) однажды спросил на пиру у Пифагора, сколько у того учеников. “Охотно скажу тебе, о Поликрат, — отвечал Пифагор. – Половина моих учеников изучает прекрасную математику. Четверть исследует тайны вечной природы. Седьмая часть молча упражняет силу духа, храня в сердце учение. Добавь еще к ним трех юношей, из которых Теон превосходит прочих своими способностями. Столько учеников веду я к рождению вечной истины”. Сколько учеников было у Пифагора?
РЕШЕНИЕ:
Пусть х – число учеников Пифагора.
По условию задачи составим уравнение:
ОТВЕТ: 28 учеников.
Начнем урок в школе Пифагора.
1. Практическая работа
(Несколько человек работают у доски, остальные в тетрадях).
Задание 1. Построить треугольник по трем сторонам, если стороны равны.
а) 3, 4, 5;
б) 6, 8, 10;
в) 5, 12, 13 (единицы измерения указывать не обязательно).
Задание 2. Измерить больший угол этих треугольников.
Ответы близки к 90о.
Учитель предлагает внимательно посмотреть на построенные треугольники, найти отличия и определить, чем эти треугольники похожи друг на друга. Класс постепенно находит нужную формулировку: “Если треугольник имеет стороны a, b, c и a2+b2=c2, то угол, противолежащий стороне с, прямой”.
Доказательство этой теоремы – обратной к теореме Пифагора.
2. Устная работа
1) в прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет соответственно равны 13 и 5. Найдите второй катет.
2) в прямоугольном треугольнике катеты равны 1,5 и 2. Найдите гипотенузу.
3) определите вид треугольника, стороны которого равны 6, 8, 10.
3. Практическая работа
На тонкой веревке делают метрии, делящие ее на 12 равных частей, связывают концы, а затем растягивают веревку в виде треугольника со сторонами 3, 4, 5. Тогда угол между сторонами 3 и 4 оказывается прямым.
ВЫВОД: если стороны треугольника пропорциональны числам 3, 4 и 5, то этот треугольник прямоугольный.
Учитель говорит учащимся, что этот факт использовался египтянами для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид надо было уметь строить прямые углы.
(Звучит музыка. Демонстрация слайдов с изображением античных дворцов, храмов, египетских пирамид).
Перед тем как перейти к следующему этапу урока, ученики вместе с учителем еще раз делают вывод, что безошибочность построения прямых углов следует из теоремы, обратной к теореме Пифагора. Проверяют еще раз эту теорему на треугольнике со сторонами 3, 4, 5: 32 + 42 = 52. Далее можно сказать, что в общем виде уравнение записывается следующим образом: а2 + b2 = с2. Необходимо проверить есть ли еще корни у этого уравнения.
Учащиеся проверяют этот факт. Прямоугольными являются также треугольники со сторонами:
- 5, 12, 13;
- 8, 15, 17;
- 7, 24, 25.
Далее учитель сообщает, что прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками.
Учитель предлагает тем учащимся, которых заинтересовала данная тема, дома доказать, что катеты a, b и гипотенуза с таких треугольников выражаются формулами:
а = 2mn, b = m2 — n2, c = m2 + n2,
где m и n – любые натуральные числа, такие, что m > n.
В финале урока уместно прочитать известные стихи, посвященные теореме Пифагора.
Теорема Пифагора
Если дан нам треугольник,
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
(И. Дырченко)
24.02.2005
Поделиться страницей:urok.1sept.ru
Египетский треугольник — загадка древности :: SYL.ru
Известный математик Пифагор совершил множество различных открытий, но большинству людей, которым не приходится регулярно сталкиваться с алгеброй и геометрией, он известен благодаря своей теореме. Ученый открыл ее, пребывая в Египте, где его очаровала красота и изящность пирамид, а это, в свою очередь, натолкнуло его на мысль о том, что в их формах прослеживается определенная закономерность.
История открытия
Своим названием египетский треугольник обязан эллинам, которые часто посещали Египет в VII-V веках до н. э., среди них был и Пифагор. Основой пирамиды Хеопса является прямоугольный многоугольник, а
пирамиды Хефрена – так называемый египетский треугольник, который древние называли священным. Плутарх писал, что жители Египта соотносили природу с этой геометрической фигурой: вертикальный катет символизировал мужчину, основание – женщину, а гипотенуза – ребенка. Соотношение сторон в нем равно 3:4:5, а это приводит к теореме Пифагора, так как 32 х 42= 52. Следовательно, тот факт, что в основании пирамиды Хефрена лежит египетский треугольник, позволяет утверждать, что знаменитая теорема была известна жителям древнего мира еще до того, как ее сформулировал Пифагор. Особенностью этой фигуры также считается то, что благодаря такому соотношению сторон она является первым и простейшим из Героновых треугольников, поскольку ее стороны и площадь целочисленные.Применение
Египетский треугольник с древности пользовался популярностью в архитектуре и строительстве.
В основном он использовался тогда, когда строили прямые углы с помощью шнура или веревки, разделенной на 12 частей. По отметкам на такой веревке можно было очень точно создать прямоугольную фигуру, катеты которой будут служить направляющими для установки прямого угла строения. Известно, что такие свойства этой геометрической фигуры использовались не только в Древнем Египте, но и, задолго до этого, в Китае, Вавилоне и Месопотамии. Для создания пропорциональных сооружений в Средние века также использовался египетский треугольник.Углы
Соотношение сторон этого треугольника 3:4:5 приводит к тому, что он является прямоугольным, т. е. один угол равен 90 градусам, а два других – 53,13 и 36,87 градусам. Прямым является угол между сторонами, соотношение которых равно 3:4.
Доказательство
При помощи некоторых простых вычислений можно доказать, что треугольник является прямоугольным. Если следовать теореме обратной той, которую создал Пифагор, т. е. в случае, если сумма квадратов двух сторон будет равняться квадрату третьей, то он прямоугольный, а поскольку его стороны приводят к равенству 32 х 42 = 52, следовательно, он является прямоугольным.
Подводя итог, надо отметить, что египетский треугольник, свойства которого уже в течение многих столетий известны человечеству, на сегодняшний день продолжает использоваться в архитектуре. Это вовсе неудивительно, ведь такой способ гарантирует точность, которая очень важна при строительстве. Кроме этого, он очень прост в использовании, что тоже значительно облегчает процесс. Все преимущества использования этого метода прошли проверку веками и остаются популярными до сих пор.
www.syl.ru
| Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 5 | ||||
|
|
||||
1.Теорема Пифагора.
|
||||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
1.Теорема Пифагора |
||||
|
Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство. 1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки. 2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними. 3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° ) 4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1) |
 Рис.1 Теорема Пифагора. |
|||
 |
||||
2.Египетский треугольник |
||||
|
Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а2 + b2 = с2. Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой. Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС — h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD — высота h.
В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником. |
Рис.2 Египетский треугольник. |
|||
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике |
||||
|
Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:  Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α. Отсюда можно сделать следующие выводы: AB = BC sin α |
 Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. |
|||
 |
||||
4.Основные тригонометрические тождества |
||||
Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)  |
 Рис.4 Основные тригонометрические тождества. |
|||
5.Пример 1 |
||||
У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5) |
||||
|
Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.  |
 Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м… |
|||
Пример 2 |
||||
Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6) |
||||
Решение: Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 — 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD. По теореме Пифагора: АВ2 = AE2 + BE2 Следовательно: 52 = 32 + BE2 25 = 9 + BE2 BE2 = 16 BE = 4 м. |
Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции… |
|||
Пример 3 |
||||
Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7) |
||||
Доказательство: Пусть ABC данный треугольник. АС — его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС. Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение: АС = АВ сos α + ВС cos β Тогда отрезок DE будет равен: DE = DB сos α + ВE cos β Так как DB то следовательно, отрезок DE меньше стороны АС. Допустим, что отрезок DE непараллелен стороне АС (рис.7 б). Тогда можно взять отрезок DE1 параллельный АС, который больше чем DE, и доказать, что DE1 меньше стороны АС аналогичным образом. |
Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками… |
|||
Пример 4 |
||||
Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8) |
||||
Доказательство: Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h Обозначим прямую, на которой лежит отрезок ОЕ, как b. Пусть точка О делит прямую b на две полупрямые, одна из которых ОЕ. Согласно аксиоме, от любой полупрямой, от ее начальной точки (точки О), в заданную полуплоскость, можно отложить только один угол определенной градусной меры α. Следовательно, отрезок ОЕ = h = ОА*cos α. Но так как прямая b делит плоскость на две полуплоскости, то от полупрямой ОЕ, от ее начальной точки (точки О) можно отложить такой же угол, той же градусной меры и во вторую полуплоскость, т.е. -α. Так, что ОЕ = h = ОВ*cos (-α). Таким образом, если выполняется условие R = OA > h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α) Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ. |
Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности… |
|||
Пример 5 |
||||
Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9) |
||||
Доказательство: Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС. Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС так как АЕ и ЕС являются проекциями AB и ВС на сторону АС. А любая проекция наклонной всегда меньше (в крайнем случае равна) самой наклонной. Т.е. АE < AB, a EC < BC. Таким образом, концы отрезков АВ и СВ смогут совпасть в одной точке В. И можно построить треугольник. Предположим, что расстояние АС > AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что АС > АВ + СB1 = AE + CE1, Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится. |
Рис.9 Задача. Даны три положительных числа… |
|||
 |
||||
| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 | ||||
Содержание |
||||
| Страница 1 | Страница 7 | |||
|
1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии. 3.Смежные углы. 4.Вертикальные углы. 5.Перпендикулярные прямые. 6.Признаки равенства треугольников. |
1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки. 3.Симметрия относительно прямой. 4.Параллельный перенос и его свойства. |
|||
| Страница 2 | Страница 8 | |||
|
1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых. 3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых. 4.Сумма углов треугольника. 5.Единственность перпендикуляра к прямой. 6.Высота, биссектриса и медиана треугольника. 7.Свойство медианы равнобедренного треугольника. |
1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число. 4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. 5.Скалярное произведение векторов. |
|||
| Страница 3 | Страница 9 | |||
|
1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника. 3.Окружность вписанная в треугольник. 4.Геометрическое место точек. |
1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам. 3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. 4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам. 5.Подобие прямоугольных треугольников. |
|||
| Страница 4 | Страница 10 | |||
|
1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма. 3.Ромб. 4.Теорема Фалеса. 5.Средняя линия треугольника. 6.Трапеция. 7.Теорема о пропорциональных отрезках. |
1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности. 3.Теорема косинусов. 4.Теорема синусов. 5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике. |
|||
| Страница 5 | Страница 11 | |||
|
1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник. 3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике. 4.Основные тригонометрические тождества. |
1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников. 3.Подобие многоугольников. 4.Длина окружности. |
|||
| Страница 6 | Страница 12 | |||
|
1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками. 3.Уравнение окружности. 4.Уравнение прямой. 5.Координаты точки пересечения. |
1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма. 3.Площадь треугольника. 4.Площадь круга. 5.Площадь подобных фигур. 6.Площадь трапеции. |
|||
www.mathtask.ru
Чему равна высота египетского треугольника. Египетский треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний. Треугольные колеса Рело.
Известный математик Пифагор совершил множество различных открытий, но большинству людей, которым не приходится регулярно сталкиваться с алгеброй и геометрией, он известен благодаря своей теореме. Ученый открыл ее, пребывая в Египте, где его очаровала красота и изящность пирамид, а это, в свою очередь, натолкнуло его на мысль о том, что в их формах прослеживается определенная закономерность.
Существует дискуссия относительно геометрии, используемой при проектировании Великой пирамиды Гизы в Египте. Внешняя оболочка остается на конусе, поэтому это помогает установить исходные размеры. Однако есть данные, что конструкция пирамиды может воплощать эти основы математики и геометрии.
Итак, как могла Великая Пирамида воплотить эти концепции? Существует множество теорий для изучения. Отношение высоты к основанию. Применение этого к высоте 5 метров пирамиды приведет к разнице в высоте между двумя методами всего лишь 14 метров. В трудах Геродота есть смутная и дискуссионная ссылка на взаимосвязь между площадью поверхности лица пирамиды и зоной площади, образованной ее высотой.
История открытия
Своим названием египетский треугольник обязан эллинам, которые часто посещали Египет в VII-V веках до н. э., среди них был и Пифагор. Основой пирамиды Хеопса является прямоугольный многоугольник, а пирамиды Хефрена — так называемый египетский треугольник, который древние называли священным. Плутарх писал, что жители Египта соотносили природу с этой геометрической фигурой: вертикальный катет символизировал мужчину, основание — женщину, а гипотенуза — ребенка. Соотношение сторон в нем равно 3:4:5, а это приводит к теореме Пифагора, так как 3 2 х 4 2 = 5 2 . Следовательно, тот факт, что в основании пирамиды Хефрена лежит египетский треугольник, позволяет утверждать, что знаменитая теорема была известна жителям древнего мира еще до того, как ее сформулировал Пифагор. Особенностью этой фигуры также считается то, что благодаря такому соотношению сторон она является первым и простейшим из Героновых треугольников, поскольку ее стороны и площадь целочисленные.
Если это так, это выражается следующим образом. Площадь лица = Площадь площади, образованная высотой. Пирамида, основанная на постоянном градиенте, варьируется на 8% от оцененных размеров Великой пирамиды. Еще одна возможность заключается в том, что Великая пирамида основана на другом методе, известном как секед. Секед — это мера наклона или градиента. Он основан на египетской системе измерения, в которой 1 локоть = 7 ладоней и 1 ладонь = 4 цифры. Теория заключается в том, что Великая пирамида основана на применении градиента в 5 сек.
По числу равных сторон
Эта мера означает, что для высоты пирамиды 1 локтей, которая составляет 7 ладоней, ее основание будет 5 ладоней. Если использовать на Великой пирамиде, это должно было привести к высоте 618 метров на базе 4 метров. Это на 118 метров больше фактической высоты Великой пирамиды. Этот результат очень близок к размерам Великой пирамиды. Остается вопрос, почему 5 будет выбрано над некоторым другим числом для градиента. Что было более привлекательным в отношении 5, а не просто использованием градиента на основе 5 или 6?
Применение
Египетский треугольник с древности пользовался популярностью в архитектуре и строительстве.
В основном он использовался тогда, когда строили прямые углы с помощью шнура или веревки, разделенной на 12 частей. По отметкам на такой веревке можно было очень точно создать прямоугольную фигуру, катеты которой будут служить направляющими для установки прямого угла строения. Известно, что такие свойства этой геометрической фигуры использовались не только в Древнем Египте, но и, задолго до этого, в Китае, Вавилоне и Месопотамии. Для создания пропорциональных сооружений в Средние века также использовался египетский треугольник.
Его почти идеальное расположение к северу показывает, что мало что осталось на случайность
Ясно одно: размеры и геометрия произошли случайно. Только одна другая египетская пирамида использовала эту геометрию или угол наклона, пирамиду Мейдум, и это ступенчатая пирамида с тремя уровнями. Учитывая, что существует несколько способов, основанных на простой геометрии, с помощью которой Великая пирамида могла бы иметь этот точный угол, кажется необоснованным предположить, что ни одна из них не применяется, пока не будет представлена другая столь же правдоподобная и точная теория.
Углы
Соотношение сторон этого треугольника 3:4:5 приводит к тому, что он является прямоугольным, т. е. один угол равен 90 градусам, а два других — 53,13 и 36,87 градусам. Прямым является угол между сторонами, соо
mtlarena.ru